6 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian là một trong những bài toán cơ bản trong quan hệ vuông góc. Hôm nay thầy muốn chia sẻ với các bạn một số cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian.

Xem thêm bài giảng hay:

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

Cho hai đường thẳng a và b lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là \vec{u}\vec{v}. Ta áp dụng một số cách sau:

  1. Sử dụng các tính chất về quan hệ vuông góc trong hình học phẳng. (từ vuông góc tới song song, đường trung trực , đường cao, định lý Pitago đảo...)
  2. Sử dụng định nghĩa góc của 2 đường thẳng trong không gian: Hai đường thẳng a và b được gọi vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90^0.
    Kí hiệu: a\bot b hoặc b\bot a
  3. Sử dụng công thức cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{u}|.|\vec{v}|} với \vec{u}, \vec{v} là vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng  a và b.
    - Nếu (\vec{u},\vec{v})\leq 90^0 thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng (\vec{u},\vec{v})
    - Nếu (\vec{u},\vec{v})> 90^0 thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng 180^0-(\vec{u},\vec{v})
  4. Ta chứng minh tích \vec{u}.\vec{v}=0
  5. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b.
  6. Sử dụng hệ quả của định lý cosin: Trong tam giác ABC với AB=c; AC=b; BC=a ta luôn có:

* cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}
cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Hệ quả này có ý nghĩa rất quan trọng:

"Trong một tam giác ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh".

Để các bạn rõ hơn thì thầy sẽ chép luôn định lý cosin cho các bạn xem nhé:

Trong tam giác ABC với AB=c; AC=b; BC=a ta luôn có:

* a^2=b^2+c^2-2bc.cosA
* b^2=a^2+c^2-2ac.cosB
* c^2=a^2+b^2-2ab.cosC

"Trong một tam giác, ta luôn tính được cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh và góc xen giữa".

Với 6 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ở trên các bạn thỏa sức để vận dụng làm bài tập nhé. Tuy nhiên không phải bài nào cũng sử dụng được 6 cách ở trên, tùy vào từng tình huống cụ thể mà áp dụng sao cho hợp lý. Thông thường thì cách số 3, số 4 và số 5 là hay được sử dụng vào bài tập chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.

Bài tập chứng minh 2 đường thẳng vuông góc

Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh đường thẳng AO vuông góc với đường thẳng CD.

Hướng dẫn:

Với bài toán này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo 2 cách:

chung minh hai duong thang vuong goc trong khong gian - tu dien deu

Cách 1:

Gọi I là trung điểm của CD. Vì ABCD là tứ diện đều, suy ra BCD, ACD là các tam giác đều. Từ đó ta có:

AI \bot CDBI \bot CD mà AI, BI thuộc (ABI) => CD \bot (ABI)

Lại có AO \subset (ABI) => CD \bot AO  (đfcm)

Ở cách này thầy đã sử dụng cách chứng minh số 5 trong lý thuyết.

Cách 2: Xét tích \vec{AO}.\vec{CD}

Ta có: \vec{AO}.\vec{CD} = (\vec{AI}+\vec{IO}).\vec{CD}

=(\vec{AI}.\vec{CD}+\vec{IO}.\vec{CD}) = 0+0=0 => CD \bot AO  (đfcm)

(vì AI \bot CD => \vec{AI}.\vec{CD}=0 và IO \bot CD => \vec{IO}.\vec{CD}=0)

Ở cách này thầy đã sử dụng cách chứng minh số 4 trong lý thuyết.

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có CD=\frac{4}{3}AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC và BD. Biết JK=\frac{5}{6}AB. Tính góc giữa:

a. Đường thẳng CD và đường thẳng IJ.

b. Đường thẳng CD và đường thẳng AB.

Hướng dẫn: 

Trong bài toán này các bạn để ý thấy rằng để tính góc giữa 2 đường thẳng CD và IJ ta sẽ đi tính góc giữa 2 đường thẳng IK và IJ (vì IK//CD).

Lại tiếp tục dự đoán, với những bài toán tính góc như này sẽ rất hay rơi vào kết quả là góc giữa 2 đường thẳng bằng 90^0, tức là hai đường thẳng vuông góc. Do đó từ dự đoán này ta sẽ theo hướng chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.

Còn nếu không có hướng dự đoán như trên thì các bạn sẽ đi tính góc giữa 2 đường thẳng theo cách số 3 hoặc cách số 6 trong lý thuyết ở trên. Tuy nhiên bài này cho những đoạn thẳng tỉ lệ vậy ta sẽ có hướng sử dụng hệ quả định lý cosin.(cách số 6 - biết các cạnh của tam giác)

Tu dien ABCD - chung minh hai duong thang vuong goc trong khong gian

a. Tìm góc giữa đường thẳng CD và đường thẳng IJ.

Đặt AB=a => CD=\frac{4}{3}a; JK=\frac{5}{6}a; IJ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a; IK=\frac{1}{2}CD=\frac{2}{3}a

Cách 1: Dự đoán góc \widehat{JIK}=90^0 ta xét:

IJ^2+IK^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{4}{9}a^2=\frac{25}{36}a^2           (1)

JK^2=(\frac{5}{6}a)^2                     (2)

Từ (1) và (2) => IJ^2+IK^2=JK^2

Theo định lý đảo của định lý Pitago => tam giác IJK vuông tại I => IJ \bot IK

CD//IK => IJ \bot CD

Cách 2: Áp dụng hệ quả của định lý hàm số cosin trong tam giác IJK có:

cos(\widehat{JIK})=\frac{IJ^2+IK^2-JK^2}{2.IJ.JK}

\Leftrightarrow cos(\widehat{JIK})=\frac{\frac{1}{4}a^2+\frac{4}{9}a^2-\frac{25}{36}a^2}{2.\frac{1}{2}a.\frac{2}{3}a}

\Leftrightarrow cos(\widehat{JIK})=\frac{0.a^2}{\frac{2}{3}a^2}=0

\Leftrightarrow cos(\widehat{JIK})=0 => \widehat{JIK}=90^0

Hay IJ \bot IK => IJ \bot CD  (đfcm)

b. Đường thẳng CD và đường thẳng AB: ý này dễ rồi các bạn tự giải tiếp nhé.

Bài giảng trên là chia sẻ của thầy về 6 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Còn bài tập thì không thể đi hết hướng dẫn hết 6 cách được. Trong quá trình viết bài có thể còn có những sai sót, mong các bạn góp ý thêm. Nếu bạn nào có thêm cách nào nữa thì bổ sung trong khung bình luận bên dưới nhé.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng Thaygiaongheo 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

4 Thảo luận

  1. Yến Nhi says:

    Thầy ơi tại sao AI và BI vuông góc CD ạ? Tính chất gì ạ?

  2. Hương says:

    Cảm ơn Thầy rất nhiều, bài giảng rất bổ ích cho em

  3. Vũ Thủy says:

    Cảm ơn thầy, em đã hiểu bài hơn rất nhiều khi xem cách giải của thầy ☺☺

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.