Lập phương trình mặt phẳng trong đề thi đại học

Chuyên đề lập phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cuối cùng cũng hoàn thành với 3 bài giảng gửi tới các bạn. Đây là 3 dạng toán có thể nói là hay được sử dụng trong các đề thi đại học, cao đẳng. Bài giảng hôm nay thầy gửi tới các bạn là những bài toán " Lập phương trình mặt phẳng trong đề thi đại học ", các ví dụ minh họa sẽ lấy trong một số đề thi đại học. Khi xem xong bài giảng này mọi người sẽ thấy các đề thi đại học cũng không khó lắm.

Để hiểu rõ nội dung lý thuyết thì các bạn có thể đọc bài 4 dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian phải dùng để biết được lý thuyết cụ thể là như thế nào và cách áp dụng ra sao.

Hai bài giảng trong chuyên đề này mà các bạn có thể xem thêm là:

1. Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

2. Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm

Sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn hai bài toán trong đề thi đại học năm 2002 và năm 2005.

Hướng dẫn giải:

a. Phân tích bài toán

- Các bạn xác định xem hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau hay song song với nhau?

- Nếu chúng cắt nhau, mà $(P)$ lại chứa $d_1$ và song song với $d_2$ => $(P)$ ?

- Nếu chúng song song, mà $(P)$ lại chứa $d_1$ và song song với $d_2$ => $(P)$ ?

- Nếu chúng chéo nhau, mà $(P)$ lại chứa $d_1$ và song song với $d_2$ => $(P)$ ?

b. Trình bày lời giải

Đường thẳng $d_2$ có VTCP là: $\vec{u_2}(1;1;2)$

Đường thẳng $d_1$ có VTCP là:$\vec{u_1}=\left (\left | \begin{array}{cc}-2 & 1\\2 & -2\end{array} \right |;\left | \begin{array}{cc}1& 1\\-2 & 1\end{array} \right |;\left | \begin{array}{cc}1 & -2\\1 & 2\end{array}\right |\right ) =(2;3;4)$.

Ta thấy $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ không cùng phương. Vậy hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ không song song.

Vì mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_1$ và song song với đường thẳng $d_2$, nên nhận các vectơ $\vec{u_1}; \vec{u_2}$ làm cặp VTCP, do đó nó có VTPT là $\vec{n}$:

$\vec{n}=[\vec{u_1},\vec{u_2}] = \left (\left | \begin{array}{cc}3 & 4\\1 & 2 \end{array} \right |;\left |\begin{array}{cc}4 & 2\\2 & 1 \end{array} \right |;\left | \begin{array}{cc}2 & 3\\1 & 1 \end{array} \right | \right )= (2;0;-1)$.

Ta lấy 1 điểm $M$ thuộc đường thẳng $d_1$ như sau:

Trong hệ phương trình xác định đường thẳng $d_1$ cho $z=0$ ta sẽ có:

$\left \{\begin{array}{ll}x-2y-4=0\\x+2y+4=0 \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x=0\\y=-2 \end{array}\right.$

Vậy $M(0;-2;0) \in d_1$

Vì mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_1$, điểm $M \in d_1$, nên $M \in (P)$.

Như vậy mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $M(0;-2;0)$ và có VTPT là $\vec{n}(2;0;-1)$ sẽ có phương trình là:

$2(x-0) + 0(y+2) -1(z-0)=0 \Leftrightarrow 2x-z=0$

Xem thêm: Chuyên đề phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Hướng dẫn giải:

1. Các bạn tự làm nhé, rất dễ rồi.

2. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa cả $d_1$ và $d_2$.

a. Phân tích bài toán

- Lấy 1 điểm bất kỳ thuộc $d_1$ hoặc $d_2$ => nó có thuộc $(P)$ hay không?

- Ở ý $(a)$ ta biết $d_1 // d_2$. Mà $(P)$ chứa cả $d_1$ và $d_2$ => Xác định VTPT của $(P)$ như thế nào?

b. Trình bày lời giải

Theo ý $(a)$ thì hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song với nhau do hai VTCP của chúng bằng nhau. Vì vậy ta không thể lấy hai VTCP này làm cặp VTPT của mặt phẳng $(P)$ được. Chúng ta chỉ có thể lấy chúng làm cặp VTCP cho mặt phẳng $(P)$ khi hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ không song song. Vậy chúng ta sẽ giải bài toán này như sau:

Lấy 1 điểm $M$ thuộc đường thẳng $d_1$ và 1 điểm $N$ thuộc đường thẳng $d_2$. Khi đó ta sẽ xác định được véctơ $\vec{MN}$

Mặt phẳng $(P)$ chứa cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ nên nó sẽ nhận VTCP $\vec{u_1}(3;-1;2)$ của đường thẳng $d_1$ và véctơ $\vec{MN}$  làm cặp VTCP. (Do $\vec{MN}$ và $\vec{u_1}$ không cùng phương). Đây là cách xác định VTPT $\vec{n}$ của mặt phẳng.

Vậy: Mặt phẳng $(P)$ sẽ chứa điểm $M$ và nhận $\vec{n}$ làm VTPT

Dựa vào phương trình đường thẳng $d_1$ ta thấy ngay điểm $M(1;-2;-1) \in d_1$

Dựa vào phương trình đường thẳng $d_2$ ta sẽ có:

Cho $y=0$ ta có hệ:$\left \{\begin{array}{ll}x-z-2=0\\x-12=0 \end{array}\right.$$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}x=12\\z=10 \end{array}\right.$

Vậy $N(12;0;10) \in d_2$

Ta có $\vec{MN}=(11;2;11)$

Gọi $\vec{n}$ là VTPT của mặt phẳng $(P)$ nên ta sẽ có:

$\vec{n} =[\vec{MN}, \vec{u_1}] = \left (\left | \begin{array}{ll}2 & 11\\-1 & 2 \end{array} \right |;\left | \begin{array}{ll}11 & 11\\2 & 3 \end{array} \right |;\left | \begin{array}{ll}11 & 2\\3 & -1 \end{array} \right | \right ) = (15;11;-17)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;-2;-1)$ nhận $\vec{n}(15;11;-17)$ làm VTPT có phương trình là:

$15(x-1) + 11(y+2) -17(z+1) =0 \Leftrightarrow 15x+11y-17z-10=0$

Bài giảng chỉ với hai bài toán trong đề thi đại học nhưng cũng đủ để các bạn hiểu rõ phương pháp làm và nhận thấy rằng đề thi đại học không thách đố chúng ta. Đây là cách làm cơ bản mà học sinh thường áp dụng. Tức là chúng ta chỉ cần áp dụng những kiến thức cơ bản nhất của phương trình mặt phẳng là có thể giải được dạng toán này rồi. Chúc các bạn có một bài học hay và bổ ích.