Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng là một dạng toán được sự quan tâm của rất nhiều bạn. Đồng thời cũng là một dạng toán được vận dụng khá nhiều trong quá trình viết phương trình đường thẳng. Để làm được bài toán dạng này hôm nay thầy xin chia sẻ cùng các bạn một số phương pháp làm như sau:
Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng
Bài toán: Xác định hình chiếu ![]() ![]() ![]() |
Cách 1:
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
. Khi đó
thỏa mãn: đi qua điểm
đã biết và nhận VTPT của
làm VTCP cho mình.
Bước 2: Tìm giao của đường thẳng và đường thẳng
. Giao điểm đó chính là tọa độ của hình chiếu
.
Cách 2:
Giả sử đường thẳng cho dưới dạng tổng quát:
. Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gọi tọa độ điểm là:
và tìm vectơ chỉ phương của
là
;
Bước 2: Tính
Bước 3: Vectơ (1)
Bước 4: Vì (2)
Bước 5: Từ (1) và (2) ta có hệ. Giải hệ này tìm được tọa độ của .
Cách 3:
Giả sử đường thẳng cho dưới dạng tham số:
Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm
lên đường thẳng
. Khi đó
. Do đó tọa độ của điểm
. Suy ra tọa độ của
Bước 2: Vì . Từ đây ta sẽ tìm được
và tọa độ của điểm
.
Chú ý:
1. Nếu điểm , khi đó tọa độ hình chiếu
của
trên:
- Ox sẽ có tọa độ là
- Oy sẽ có tọa độ là
2. Nếu điểm mà bài toán yêu cầu: "Tìm tọa độ điểm
sao cho
ngắn nhất thì tương đương với việc tìm
là hình chiếu vuông góc của điểm
trên
.
Xem thêm:
Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân đường cao của tam giác
Bài tập áp dụng
Bài tập 1:
Cho điểm và đường thẳng
có phương trình:
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc
của điểm
lên đường thẳng
. Từ đó suy ra tọa độ của điểm
là điểm đối xứng với
qua đường thẳng
.
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
:
Vì nên phương trình đường thẳng
có dạng:
Vì điểm nên tọa độ của điểm
thỏa mãn:
Vậy phương trình đường thẳng là:
Bước 2: Tìm tọa độ điểm là giao điểm của
và
và là nghiệm của hệ sau:
Vậy tọa độ hình chiếu là:
Bước 3: Tìm tọa độ điểm là điểm đối xứng của điểm
qua
Vì là điểm đối xứng của điểm
qua đường thẳng
nên
sẽ là trung điểm của
. Gọi tọa độ của điểm
, theo biểu thức tọa độ liên quan tới trung điểm ta có:
Vậy tọa độ của điểm là:
Cách 2:
Bước 1:
Giả sử
là vectơ chỉ phương của
Vì nên ta có:
(1)
Bước 2:
Vì điểm nên ta có:
(2)
Bước 3:
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ tạo bởi (1) và (2), ta có:
Vậy tọa độ của điểm là:
Cách 3:
Bước 1: Chuyển về phương trình tham số
- Lấy 1 điểm bất kì thuộc
là:
- Vectơ chỉ phương của
là:
- Phương trình tham số của
là:
Bước 2:
Vì điểm nên ta có tọa độ của
là:
Vectơ chỉ phương của là:
Vì
Với

Ở bài 1 cách 2 bước 1:
Cái vectơ chỉ phương của phải là (3; -4) chứ thầy
ấy chết em nhầm
Nếu đthg d ko cho biết thì làm ntn vậy thầy
Em có thể post bài toán cụ thể muốn hỏi lên đây nhé
thầy ơi sao hình chiếu của 1 điểm thuộc đường tròn không rơi ra ngoiaf hình chiếu của chính đt đó qua phép chiếu vuông góc lên đt d ạ?
Bài thầy giải rất hữu ích ạ
thầy ơi, nếu tìm hình chiếu của 1 điểm lên 1 mp mà theo phương chiếu của 1 vecto khác thì phải làm thế nào ạ?
Em viết ptđt qua điểm đó và nhận vectơ đã cho làm vectơ chỉ phương. Sau đó tìm giao của đt và mặt phẳng.
thầy ơi sao phải dùng vecto chỉ phương vậy thầy, cho con biết dc k thầy
Thầy ơi nếu cho PTTS tìm bằng cách nào ạ. E đổi về PTTQ rồi k bt lm sao.
EM hỏi nếu bài toán cho ptts tìm bằng bằng cách nào ạ? Tức là tìm cái gì vậy em?
Các bài giảng của thầy tuy ngắn gọn nhưng rất đầy đủ, mạch lạc và dễ hiểu. Con mong thầy có thể phát triển mở lớp học ở Hà Nội để con và các bạn học sinh có thể tham gia. Chúc thầy thành công và luôn gắn bó với nghề giáo vì theo con thầy thực sự là một người thầy giỏi.
Thầy cám ơn em. Giỏi thì thầy không giám nhận, nhưng biết gì thì thầy viết đó. Kiến thức là vô tận mà.
hay và bổ ích lắm ạ . cảm ơn thầy
cho em hỏi viết ptdt d qa M(2;7) cách N(1;2) một khoảng bằng 1
em gọi ptđt d qua m là: a(x-2)+b(y-7)=0
dựa vào khoảng cách từ N tới đường thẳng d là 1 => 1 phương trình ẩn a và b
biến đổi và đặt nhân tử chung sẽ đc 1 pt tích. từ đây em sẽ tìm dc a và b
Thầy ơi, chỗ vecto MH.vecto u =0 có thể dùng công thức trong SGK k1.k2=-1 được không thầy. Cảm ơn thầy.