Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng là một dạng toán được sự quan tâm của rất nhiều bạn. Đồng thời cũng là một dạng toán được vận dụng khá nhiều trong quá trình viết phương trình đường thẳng. Để làm được bài toán dạng này hôm nay thầy xin chia sẻ cùng các bạn một số phương pháp làm như sau:

Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Cách 1:

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Khi đó $d'$ thỏa mãn: đi qua điểm $M$ đã biết và nhận VTPT của $d$ làm VTCP cho mình.

Bước 2: Tìm giao của đường thẳng $d$ và đường thẳng $d'$. Giao điểm đó chính là tọa độ của hình chiếu $H$.

Cách 2:

Giả sử đường thẳng $d$ cho dưới dạng tổng quát: $Ax+By+C=0$. Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi tọa độ điểm $H$ là: $H(x_H;y_H)$ và tìm vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u_d}$;

Bước 2: Tính $\vec{MH}$

Bước 3: Vectơ $\vec{MH} \bot \vec{u_d} \Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u_d}=0$   (1)

Bước 4: Vì $H\in d \Rightarrow Ax_H + By_H + C=0$     (2)

Bước 5: Từ (1) và (2) ta có hệ. Giải hệ này tìm được tọa độ của $H$.

Cách 3:

Giả sử đường thẳng $d$ cho dưới dạng tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right.$ $t\in R$

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên đường thẳng $d$. Khi đó $H\in d$. Do đó tọa độ của điểm $H(x_0+at;y_0+bt)$. Suy ra tọa độ của $\vec{MH}$

Bước 2: Vì $MH\bot d \Leftrightarrow \vec{MH} \bot \vec{u_d}\Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u_d}=0$. Từ đây ta sẽ tìm được $t$ và tọa độ của điểm $H$.

Chú ý:

1. Nếu điểm $M(x_0;y_0)$, khi đó tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên:

• Ox sẽ có tọa độ là $H(x_0;0)$
• Oy sẽ có tọa độ là $H(0;y_0)$

2. Nếu điểm $M \notin d$ mà bài toán yêu cầu: "Tìm tọa độ điểm $H\in d$ sao cho $MH$ ngắn nhất thì tương đương với việc tìm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên $d$.

Xem thêm:

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân đường cao của tam giác

Bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Cho điểm $M(3;-1)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $3x-4y+12=0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $M$ lên đường thẳng $d$. Từ đó suy ra tọa độ của điểm $M_1$ là điểm đối xứng với $M$ qua đường thẳng $d$.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: 

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng $d'$ qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$:

Vì $d' \bot d$ nên phương trình đường thẳng $d'$ có dạng: $4x+3y+C=0$

Vì điểm $M(3;-1) \in d'$ nên tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn:

$4.3+3.(-1)+C=0 \Leftrightarrow C=-9$

Vậy phương trình đường thẳng $d'$ là: $4x=3y-9=0$

Bước 2: Tìm tọa độ điểm $H$ là giao điểm của $d$ và $d'$ và là nghiệm của hệ sau:

$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+12=0\\4x+3y-9=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\y=3\end{array}\right.$

Vậy tọa độ hình chiếu $H$ là: $H(0;3)$

Bước 3: Tìm tọa độ điểm $M_1$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua $d$

Vì $M_1$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua đường thẳng $d$ nên $H$ sẽ là trung điểm của $MM_1$. Gọi tọa độ của điểm $M_1(x_{M_1};y_{M_1})$, theo biểu thức tọa độ liên quan tới trung điểm ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x_M+x_{M_1}=2x_H\\y_M+y_{M_1}=2y_H\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3+x_{M_1}=2.0\\-1+y_{M_1}=2.3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{M_1}=-3\\y_{M_1}=7\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm $M_1$ là: $M_1(-3;7)$

Cách 2:

Bước 1:

Giả sử $H(a;b) \Rightarrow \vec{MH}(a-3;b+1)$

$\vec{u}(4;3)$ là vectơ chỉ phương của $d$

Vì $MH\bot d$ nên ta có: $\vec{MH}\bot \vec{u}\Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u}=0\Leftrightarrow 4(a-3)+3(b+1)=0\Leftrightarrow 4a+3b-9=0$      (1)

Bước 2:

Vì điểm $H(a;b) \in d$ nên ta có: $3a-4b+12=0$    (2)

Bước 3:

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ tạo bởi (1) và (2), ta có:

$\left\{\begin{array}{l} 4a+3b-9=0\\3a-4b+12=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=0\\b=3\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm $H$ là: $H(0;3)$

Cách 3: 

Bước 1: Chuyển $d$ về phương trình tham số

• Lấy 1 điểm bất kì thuộc $d$ là: $A(0;3)$
• Vectơ chỉ phương của $d$ là: $\vec{u}(4;3)$
• Phương trình tham số của $d$ là:$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\y=3+3t\end{array}\right.$  $t\in R$

Bước 2:

Vì điểm $H\in d$ nên ta có tọa độ của $H$ là: $H(4t;3+3t)\Leftrightarrow \vec{MH}(4t-3;3t+4)$

Vectơ chỉ phương của $d$ là: $\vec{u}(4;3)$

Vì $MH\bot d \Leftrightarrow \vec{MH}.\vec{u}=0\Leftrightarrow 4(4t-3)+3(3t+4)=0\Leftrightarrow t=0$

Với $t=0\Rightarrow H(0;3)$