2 bài toán tìm số áp dụng chỉnh hợp hay gặp

Trong bài giảng trước thầy đã phân tích cho chúng ta thấy sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp để các bạn không hiểu sai về hai khái niệm này. Và để biết khi nào thì chúng ta sử dụng chỉnh hợp vào giải toán thì hôm nay thầy gửi tới các bạn một số ví dụ để làm rõ khái niệm này. Đó là 2 bài toán tìm số áp dụng chỉnh hợp hay gặp.

 

Bài 1: Cho tập $A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$. Tìm các số tự nhiên gồm $5$ chữ số được lấy từ $7$chữ số trên, sao cho:

a. Các chữ số đều khác nhau

b. Các chữ số đều khác nhau và chữ số đầu tiên là chữ số $3$

c. Chữ số đầu tiên là chữ số $3$

d. Không tận cùng bằng chữ số $4$

Bài giải:

a. Gọi số có $5$ chữ số là :$\overline{abcde}$

Vì số có $5$ chữ số là khác nhau ($a\neq b \neq c \neq d \neq e$) được tạo thành từ $7$ chữ số trong tập $A$ nên số các số cần tìm sẽ là chỉnh hợp chập $5$ của $7$.

Ta có: $A^5_7 =\frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!}=\frac{2!.3.4.5.6.7}{2!} = 3.4.5.6.7 = 2520 $ (số)

 

b. Số gồm $5$ chữ số khác nhau mà có chữ số đầu tiên là chữ số $3$ nên có dạng: $\overline{3abcd}$

Như vậy ta chỉ cần tìm các chữ số là a, b, c và d. Vì các chữ số là khác nhau nên ta loại chữ số $3$ khỏi tập $A$, khi đó tập $A$ sẽ còn các chữ số $1; 2; 4; 5; 6; 7.$

Việc chọn ra $4$ chữ số trong $6$ chữ số còn lại sẽ là chỉnh hợp chập $4$ của $6$ phần tử. Ta có:

$A^4_6 =\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} =\frac{2!.3.4.5.6}{2!} =3.4.5.6 = 360$ (số)

Vậy số các số gồm $5$ chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số $3$ có $360$ số

 

c. Số gồm $5$ chữ số mà có chữ số đầu tiên là chữ số $3$ nên có dạng: $\overline{3abcd}$.

Như vậy ta chỉ cần tìm các chữ số là a, b, c và d. Vì các chữ số không cần phải khác nhau nên ta vẫn xét cả chữ số $3$ trong tập $A$.

Việc chọn ra $4$ chữ số không yêu cầu khác nhau trong $7$ chữ số sẽ là chỉnh hợp lặp chập $4$ của $7$ phần tử. Ta có:

$F^4_7 = 7^4 =2401$ (số)

Vậy số các số gồm $5$ chữ số bắt đầu bằng chữ số $3$ có $2401$ số

Để hiểu thế nào là chỉnh hợp lặp các bạn nhờ Cụ Google nhé.

 

d. Gọi số có $5$ chữ số là :$\overline{abcde}$

Các số gồm $5$ chữ số nhưng không tận cùng bằng chữ số $4$. Vậy e chỉ nhận một trong các chữ số là: $1; 2; 3; 5; 6; 7$. Như vậy $e$ sẽ có $6$ cách chọn.

Vì các chữ số không yêu cầu khác nhau nên ta vẫn xét chữ số $4$ cho các vị trí a; b; c; d. Như vậy các chữ số a; b; c; d sẽ được lấy từ tập $A$ gồm $7$ chữ số như ban đầu.

Việc chọn ra $4$ chữ số không yêu cầu khác nhau trong $7$ chữ số trên sẽ là chỉnh hợp lặp chập $4$ của $7$ phần tử. Ta có:

$F^4_7 =7^4 =2401$

Vậy các số gồm $5$ chữ số nhưng không tận cùng bằng chữ số $4$ sẽ là:

$6.F^4_7 = 6. 2401 = 14406$ (số)

Xem thêm: Video bài giảng quy tắc cộng và quy tắc nhân

 

Bài 2: Cho tập $B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}$. Tìm các số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau được lấy từ $7$ chữ số trên, sao cho:

a. Là số chẵn

b. Là số lẻ

Bài giải:

a. Gọi số có 5 chữ số khác nhau là: $\overline{abcde}$

Vì số cần tìm là số chẵn nên các số này phải có chữ số tận cùng là chẵn. Mặt khác trong tập hợp $B$ bài cho có cả chữ số $0$, mà chữ số $0$ thì không thể đứng ở vị trí $a$ nên thầy sẽ hướng dẫn các bạn theo $2$ cách như sau:

Cách 1:

Số chẵn cần tìm bằng: Tất cả các số chẵn được lập từ tập $B$ trừ đi các số chẵn bắt đầu bằng chữ số $0$.

Tất cả các số chẵn lập từ tập $B$:

Vì số cần tìm là chẵn nên $e$ phải chẵn. Vậy $e$ có $4$ cách chọn được lấy từ $1$ trong các chữ số $0; 2; 4; 6$.

Bây giờ tập $B$ chỉ còn $6$ chữ số (loại chữ số chọn cho $e$). Chúng ta sẽ chọn $4$ chữ số $a; b; c; d$ trong $6$ chữ số trên. Vì các chữ số là khác nhau nên việc chọn $4$ chữ số $a; b; c; d$ sẽ là chỉnh hợp chập $4$ của $6$ phần tử.

Ta có $A^4_6 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{2!.3.4.5.6}{2!} = 3.4.5.6 =360$ (số)

Vậy tất cả các số chẵn có thể lập từ $B$ là: $4.360 = 1440$ (số)

Các số chẵn bắt đầu bằng chữ số $0$: Có dạng là $\overline{0bcde}$

Chọn $e$ có $3$ cách chọn được lấy từ tập gồm các chữ số ${2; 4; 6}$

Khi đó tập $B$ còn $5$ chữ số (loại số $0$ ở đầu và số $e$). Việc chọn ra $3$ số $b; c; d$ trong $5$ số còn lại là chỉnh hợp chập $3$ của $5$ phần tử. Ta có:

$A^3_5 =\frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!}= 3.4.5=60$ (cách)

Vậy số các số chẵn bắt đầu bằng chữ số $0$ là: $3. 60 = 180$ (số)

Vậy các số chẵn thỏa mãn bài toán là: $1440 – 180 =1260$ (số)

 

Cách 2:

Vì ta cần xác định các số chẵn mà trong tập $B$ lại có cả chữ số $0$ (ông $0$ này gây rất nhiều rắc rối) nên ta cần chia làm $2$ trường hợp.

Trường hợp 1:

Chọn $e=0$. Số cần tìm có dạng $\overline{abcd0}$

Tiếp theo ta chọn $a$: Vì $a$ khác $0$ nên $a$ sẽ có $6$ cách chọn, được lấy từ tập gồm các số $1; 2; 3; 4; 5; 6$

Sau khi chọn $a$ và $e$ ta còn lại $5$ chữ số, việc chọn ra $3$ chữ số trong $5$ chữ số trên sẽ là chỉnh hợp chập $3$ của $5$ phần tử. Ta có: $A^3_5 = \frac{5!}{2!} = 60$ (số)

Như vậy trong trường hợp này ta có: $6.60 = 360$ (số)

Trường hợp 2:

Chọn $e =\{2; 4; 6\}$ nên $e$ có $3$ cách chọn.

Chọn $a$ sẽ có $5$ cách chọn (vì $a$ phải khác $0$ và $e$)

Chọn $b; c; d$ sẽ được lấy từ tập gồm $5$ chữ số (khác $a$ và $e$). Như vậy ta có $A^3_5 =\frac{5!}{2!} =3.4.5 =60$ (số)

Vậy trường hợp này ta có: $3.5.60 = 900$ (số)

Cộng cả hai trường hợp ta sẽ có:$360 + 900 =1260$ (số)

 

b. Số cần tìm là số lẻ

Gọi số cần tìm có $5$ chữ số khác nhau và là số lẻ có dạng: $\overline{abcde}$

Vì là số lẻ nên $e$ chỉ nhận $1$ trong các chữ số $1; 3; 5$. Vậy $e$ có $3$ cách chọn.

Chọn $a$: Vì $a$ phải khác $0$ và $e$ nên $a$ sẽ có $5$ cách chọn.

Chọn $b; c; d$: Sau khi chọn ra $a$ và $e$ ta còn lại $5$ chữ số. Vậy số cách để chọn được $3$ vị trí còn lại sẽ là chỉnh hợp chập $3$ của $5$ phần tử. Ta có: $A^3_5 = \frac{5!}{2!} =3.4.5 =60$ (số)

Vậy các số lẻ cần tìm sẽ là: $3. 5. 60 =900 $ (số)

Qua hai ví dụ trên hy vọng các bạn sẽ nắm rõ hơn việc áp dụng các bài tập số vào chỉnh hợp. Và để làm tốt bài tập chỉnh hợp một phần quan trọng không thể thiếu đó là cần nắm vững hai quy tắc đếm. Đó là cơ sở để các bạn hoàn thành tốt các bài tập áp dụng chỉnh hợp. Chúc các bạn học tập tốt.