2 cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Dạng toán viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng có lẽ ai cũng rõ, nhưng không phải ai cũng thường sử dụng cách này. Vậy cách đó là gì và như thế nào mà nghe có vẻ NÓNG thế? Cứ từ từ, trước tiên chúng ta cùng xem qua khái niệm đường trung trực và tính chất của nó đã.

Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?

Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm I của AB.

Tính chất của đường trung trực

Tính chất 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Tức là nếu điểm M thuộc đường trung trực d của AB thì $MA=MB$

Tính chất 2: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Tức là nếu $MA=MB$ thì M nằm trên đường trung trực của AB.

Đường trung trực của tam giác

Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Trong tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.

Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Tới cái vấn đề chính rồi các bạn à, trong bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn các bạn viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng theo 2 cách:

1.  Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và 1 điểm mà nó đi qua.
2.  Dựa vào tính chất 1.

Trong hai cách này theo các bạn cách nào sẽ dễ hơn và nhanh hơn? Chúng ta cùng tìm hiểu nhé.

Bài tâp 1: Cho hai điểm $A(1;0)$ và $B(1;2)$. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách 1: 

Ta có: $\vec{AB}=(0;2)$ và trung điểm của đoạn AB là $I(1;1)$

Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và vuông góc với AB nên nhận $\vec{AB}(0;2)$ làm vectơ pháp tuyến. Có phương trình là:

$0(x-1)+2(y-1)=0 \Leftrightarrow y-1=0$

Vậy phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là: $y-1=0$

Cách 2:

Gọi $M(x;y)$ là điểm bất kỳ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. Khi đó ta có: $MA=MB$.

Mặt khác: $MA=|\vec{MA}|=\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2}$ và $MB=|\vec{MB}|=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}$

Từ $MA=MB \Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}$

$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-0)^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$

                            $\Leftrightarrow y^2 = (y-2)^2$

$\Leftrightarrow y^2=y^2-4y+4$

$\Leftrightarrow y-1=0$

Vậy phương trình đường tung trực của đoạn thẳng AB là: $y-1=0$

Tham khảo bài giảng:

1. Tính chất cực hay của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm
2. Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định
3. Cách nhận dạng một phương trình đường tròn

Bài tập 2:  Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Biết $M(1;2)$, $N(3;-5)$ và $P(5;7)$. Lập phương trình đường trung trực của các cạnh AB, BC và AC.

Phân tích: Các đường thẳng MN, NP, MP là đường trung bình của các cạnh của tam giác. Do đó nó sẽ vuông góc với các đường trung trực của 3 canh tam giác. Từ đây các bạn sẽ tìm được vectơ pháp tuyến của đường trung trực. Bài toán được giải quyết.

Bài tập 3: Cho tam giác ABC, đường cao AH có phương trình: $x-2y+3=0$, đường trung tuyến AM có phương trình: $2x-y=0$ và điểm B có tọa độ $B(2;-3)$. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hai bài tập sau các bạn hãy tự làm coi như bài tập rèn luyện. Với hướng dẫn của bài tập 1 các bạn cũng sẽ biết nên chọn cách làm nào cho hợp lý và các bạn cũng đã nắm được đâu là cách mà chúng ta ít khi sử dụng tới khi viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng. Hãy chia sẻ cảm nhận của mình về bài viết dưới phần thảo luận nhé.