Dạng toán viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng có lẽ ai cũng rõ, nhưng không phải ai cũng thường sử dụng cách này. Vậy cách đó là gì và như thế nào mà nghe có vẻ NÓNG thế? Cứ từ từ, trước tiên chúng ta cùng xem qua khái niệm đường trung trực và tính chất của nó đã.
Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?
Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm I của AB.
Tính chất của đường trung trực
Tính chất 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Tức là nếu điểm M thuộc đường trung trực d của AB thì $MA=MB$
Tính chất 2: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Tức là nếu $MA=MB$ thì M nằm trên đường trung trực của AB.
Đường trung trực của tam giác
Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Trong tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.
Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng
Tới cái vấn đề chính rồi các bạn à, trong bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn các bạn viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng theo 2 cách:
- Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và 1 điểm mà nó đi qua.
- Dựa vào tính chất 1.
Trong hai cách này theo các bạn cách nào sẽ dễ hơn và nhanh hơn? Chúng ta cùng tìm hiểu nhé.
Bài tâp 1: Cho hai điểm $A(1;0)$ và $B(1;2)$. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cách 1:
Ta có: $\vec{AB}=(0;2)$ và trung điểm của đoạn AB là $I(1;1)$
Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và vuông góc với AB nên nhận $\vec{AB}(0;2)$ làm vectơ pháp tuyến. Có phương trình là:
$0(x-1)+2(y-1)=0 \Leftrightarrow y-1=0$
Vậy phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là: $y-1=0$
Cách 2:
Gọi $M(x;y)$ là điểm bất kỳ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. Khi đó ta có: $MA=MB$.
Mặt khác: $MA=|\vec{MA}|=\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2}$ và $MB=|\vec{MB}|=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}$
Từ $MA=MB \Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}$
$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-0)^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$
$\Leftrightarrow y^2 = (y-2)^2$
$\Leftrightarrow y^2=y^2-4y+4$
$\Leftrightarrow y-1=0$
Vậy phương trình đường tung trực của đoạn thẳng AB là: $y-1=0$
Tham khảo bài giảng:
- Tính chất cực hay của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm
- Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định
- Cách nhận dạng một phương trình đường tròn
Bài tập 2: Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Biết $M(1;2)$, $N(3;-5)$ và $P(5;7)$. Lập phương trình đường trung trực của các cạnh AB, BC và AC.
Phân tích: Các đường thẳng MN, NP, MP là đường trung bình của các cạnh của tam giác. Do đó nó sẽ vuông góc với các đường trung trực của 3 canh tam giác. Từ đây các bạn sẽ tìm được vectơ pháp tuyến của đường trung trực. Bài toán được giải quyết.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC, đường cao AH có phương trình: $x-2y+3=0$, đường trung tuyến AM có phương trình: $2x-y=0$ và điểm B có tọa độ $B(2;-3)$. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Hai bài tập sau các bạn hãy tự làm coi như bài tập rèn luyện. Với hướng dẫn của bài tập 1 các bạn cũng sẽ biết nên chọn cách làm nào cho hợp lý và các bạn cũng đã nắm được đâu là cách mà chúng ta ít khi sử dụng tới khi viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng. Hãy chia sẻ cảm nhận của mình về bài viết dưới phần thảo luận nhé.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
thầy ơi! cho em hỏi bài này : cho tam giác ABC với A(2:2), B(-1;6), C(-5:3). Viết phương trình 3 đường cao của tam giác
Viết phương trình đường cao AH nhé:
– Đường cao AH đi qua A nhận vectơ BC làm pháp tuyến.
2 đường cao còn lại tương tự
dạ em biết rồi . cảm ơn thầy
thầy ơi cho e hỏi cách 2 của phần viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng , sau khi gọi M là một điểm bất kì thuộc đường trung trực ~> MA=MB, sau đó tính MA, MB bằng cách nào ạ , e vẫn chưa hiểu rõ lắm, cảm ơn thầy nhiều
Bạn xác định vectơ MA và MB ra, sau đó tính độ dài vectơ MA và vectơ MB
Thầy ơi cho e hỏi bài toán cho 3 đỉnh và muốn mk tìm đg trung trực thì làm cách nào ạ
Nếu biết tọa độ 3 đỉnh thì tốt quá rồi. Giả sử em viết phương trình đường trung trực của cạnh AB thì tìm trung điểm I của AB, viết phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với AB.
Thay oi. Huong dan e bai tap 3 với
Em viết phương trình BC
Tìm giao của BC với AM
Viết phương trình đường thẳng qua M vuông góc với BC
Thầy ơi chỉ rõ giúp e bài 2 với ạ
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh tam giác, đường trung trực một cạnh của tam giác thì vuông góc với cạnh đó=? nó sẽ vuông góc với đường trung bình.
Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ÁC cho A(-2;5),B(-1;-1),C(4;9) cho em hỏi bài này làm ntn ạ ?
Trung tuyến AM của tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Em tìm tọa độ M theo công thức trung điểm ra.
Xác định vectơ chỉ phương AM. Từ đây viết đc phương trình đường thẳng AM rồi nhé.
Thầy ơi cho e hỏi bài này với ạ : Cho tam giác ABC có điểm A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0 và cạnh BC // d. Đường cao BH : x+y+3=0 và trung điểm AC là M (1;1). Tìm tọa độ A, B ,C
Viết ptđt Ac đi qua M và vuông góc BH
Tìm tọa độ của điểm A
Tìm tọa độ của C dựa vào A và M
Vì BC//d => ptđt BC: x-4y+c=0. Thay tọa độ của C vào ptđt BC => tọa độ của C => ptđt BC
Tìm tọa độ của B
Thầy ơi cho e hỏi pp làm bài này ạ:tam giac abc có A(1;1).đường cao BH:x+y-1=0,đường cao CK :2x-y-2=0
Tim b,c
Em viết ptđt AB đi qua A và vuông góc với CH. Tìm B là giao của AB và BH
Em viết ptđt AC đi qua A và vuông góc với BH. Tìm C là giao của Ac và CH
Thầy ơi . Cho hai điểm A(2;1) và B(0;4) . Viết pttq đường trung trực đoạn thẳng AB như thế nào ạ ?
Thầy cho e hỏi cho A(4;1) B(2;-5) C(0;6) viết đườg trug trực AC như thế nào?
Em tìm trung điểm I của Ac ra, viết ptđt qua I và vuông góc với AC.
Cho em hoi bai nay : cho dg thang ∆ : 2x – 3y + 4 = 0 va A( 4; -3). Tim diem A’ doi xung cua A qua ∆
Thay oi, cho em hoi bai nay : cho dg thang ∆ : 2x – 3y + 4 = 0 va A( 4; -3). Tim diem A’ doi xung cua A qua ∆
Em viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với đường thẳng $\Delta$
Tìm giao điểm của $\Delta$ và d là I.
Tìm A’ đối xứng với A qua I
thầy ơi cho em hỏi bài này với : cho tam giác abc có điểm a(1;3 và điểm b(0;2 và đường thẳng bc nhận n(2;-1 làm vecto pháp tuyến . viết pt đường cao ch và tìm tọa độ c biết tam giác có trực tâm h(3;2
Em Viết phương trình đường thẳng BC
Viết pt đường cao CH vuông góc với AB và đia qua H
C là giao của CH và BC
Cho tam giác ABC, B(3;5) đường cao từ A có pt d1: 2x—5y+3=0 đường trung tuyến kẻ từ C có pt d2: x+y—5=0
Tính tọa độ đỉnh A
em gọi I là trung điểm của AB
tọa đô hóa điểm I theo pt đường thẳng d2
tính tọa độ điểm A theo B và I
thay tọa độ của A vừa tìm đc vào pt đường thẳng d1 => tọa độ của A
Thầy ơi cái bài số 1 đó ạ : sao lại có đoạn Y2=Y2-4Y+4=0 ạ??? cái này e không hiểu ạ.
Bài giảng của thầy hay lắm ạ!
Trong mặt phẳng Oxy,cho A(-1,2) ,B(3,1) và đường thẳng |x = 1 + t ,y = 2 +t .Hỏi có nhiêu điểm C thuộc đường thẳng trên sao cho Tam giác ABC đều
Gọi C(1+t;2+t). Tam giác ABC đều nếu thỏa mãn: AB=BC và AB=AC. Giải hệ này tìm t
d song song với trục tung và đi qua giao điểm của 2 đường thẳng
d song với trục tung có tính chất gì ạ?
d song song với trục tung thì có phương trình là x=a
Cho tam giác ABC biết A(-1,1), B(2,3) và phương trình của cạnh BC: 6x-8y-13=0
Viết phương trình của các canh của tam giác
Thầy hướng dẫn cho em bài này với ạ!
Em xác định trung điểm M của đoạn AB
viết ptđt d qua M song song với dt BC. Gọi N là trung điểm của AC => N thuộc d
Tọa độ hóa điểm N theo d => tọa độ của C theo A và N
Thay tọa độ của C vào ptđt BC => tọa độ của C
Thầy ơi cho e hỏi chỗ MA= căn của x-1)^2 + y-o)^2 là từ công thức gì ạ? em cảm ơn thầy!
độ dài của vecto MA em nhé. chính là độ dài đoạn thẳng MA
Thầy ơi cho con hỏi viết phương trình tham số của đường trung trực trong tâm giác làm sao vậy thầy
Đường trung trực trong tam giác là đường trung trực của 3 cạnh tam giác. Em phải tìm được vecto chỉ phương và 1 điểm mà đt đó đi qua
Thầy cho em hỏi bài nàu với:cho tam giác ABC,A (2;-7).Đường cao BH:2x+y+11=0,đường trung tuyến Cn:x+2y+7=0.Tìm tọa độ B,C
Em viết ptđt AC đi qua A và vuông góc với BH.
Tìm tọa độ của điểm C là giao của AC và CN
Tọa độ hóa điểm N theo ptđt CN => tọa độ của B theo A và N
Thay tọa độ B vào ptđt BH => B => A
2 dòng cuối em chưa hieeu tại sao lại ra kết quả đó ??
thầy đã update lại rồi em nhé, em có thể kiểm tra lại. cám ơn em đã góp ý. chúc em học tốt.
Thầy ơi cho em hỏi vectơ AB(O;2) là vectơ chỉ phương chứ ạ muốn làm pttq thì phải đổi ra vectơ pháp tuyến nhưng cách thầy làm hơi khác ạ
đường trung trực của AB thì sẽ vuông góc với AB. Do đó vectơ AB sẽ là vectơ pháp tuyến của đường trung trực.
em xem lại nhé
Cho em hỏi là nếu ví dụ đường e là trung trực của bc thì tại sao lại lấy EC mà không lấy Bc dc
thầy cho em hỏi tìm tọa độ trung điểm I như nào ạ
em xem bài giảng này nhé https://hoctoan24h.net/cach-viet-phuong-trinh-duong-trung-tuyen-cua-tam-giac/
Cau 1 làm sao đề tìm điểm i ạ