2 Cách xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác. Khi đó 3 cạnh của tam giác chính là 3 tiếp tuyến của đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC chính là giao điểm của 3 đường phân giác. Tuy nhiên chúng ta chỉ cần tìm giao điểm của hai đường phân giác là xác định được tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Ngoài cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác như trên thì chúng ta còn có thêm một cách khác là dựa vào tính chất của đường phân giác đã được học ở chương trình lớp 8. Vì vậy mà bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn các bạn 2 cách xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Cách 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho biết tọa độ của 3 điểm A, B, C

Gọi AD là đường phân giác trong góc A, với D thuộc BC. Và BJ là đường phân giác trong góc B với J thuộc AD. => J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bước 1: Sử dụng tính chất đường phân giác học ở lớp 8 ta có: $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$ =>$DB=\dfrac{AB}{AC}.DC$

Bước 2: Chuyển về biểu thức dạng vectơ $\vec{DB}=-\dfrac{AB}{AC}.\vec{DC}$ => tọa độ diểm D

Bước 3: Sử dụng tính chất đường phân giác học ở lớp 8 ta có: $\dfrac{JD}{JA}=\dfrac{BD}{BA}$ =>$JD=\dfrac{BD}{BA}.JA$

Bước 4: Chuyển về biểu thức dạng vectơ $\vec{JD}=-\dfrac{BD}{BA}.\vec{JA}$ => tọa độ diểm J.

Bước 5: J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Cách 2:

• Viết phương trình đường phân giác trong góc A
• Viết phương trình đường phân giác trong góc B
• Tìm giao điểm J của hai đường phân giac trên
• => J là tâm đường tròn nôi tiếp tam giác ABC.

Xem thêm bài giảng:

• Tính chất cực hay của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm
• 2 Cách tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• Lập phương trình các cạnh tam giác khi biết đường cao, đường trung tuyến
• Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng

Bài tập: Trong mpOxy cho tam giác ABC với $A(-2;3); B(\dfrac{1}{4};0); C(2;0)$. Tìm tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn:

$\vec{AB}=(\dfrac{9}{4};-3)$ => $AB=\dfrac{15}{4}$

$\vec{AC}=(4;-3)$ => $AC=5$

Gọi AD là đường phân giác trong góc A với D thuộc BC. Gọi tọa độ của điểm D là $D(x;y)$

$\vec{DC}=(2-x;-y)$; $\vec{DB}=(\dfrac{1}{4}-x;-y)$

Theo tính chất đường phân giác ta có:

$\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$

=>$\vec{DB}=-\dfrac{AB}{AC}.\vec{DC}$

=> $\vec{DB}=-\dfrac{3}{4}\vec{DC}$

=> $\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{4}-x=-\dfrac{3}{4}(2-x)\\-y=\dfrac{-3}{4}(-y) \end{array}\right.$

=> $\left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=0\end{array}\right.$

=> $D(1;0)$

Gọi BJ là đường phân giác trong góc B với J thuộc AD. Gọi tọa độ của điềm J là $J(x;y)$

$\vec{BA}=(-\dfrac{9}{4};3)$ => $AB=\dfrac{15}{4}$

$\vec{BD}=(\dfrac{3}{4};0)$=> $BD=\dfrac{3}{4}$

Theo tính chất đường phân giác góc B ta có:

$\dfrac{JA}{JD}=\dfrac{BA}{BD}$

=> $\vec{JA}=-\dfrac{BA}{BD}.\vec{JD}$

=> $\vec{JA}=-5\vec{JD}$

=> $\left\{\begin{array}{ll}-2-x=-5(1-x)\\3-y=-5(-y)\end{array}\right.$

=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

$J(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$

Vì J là giao điểm của hai đường phân giác trong góc A và góc B nên J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.