3 cách giải hay cho 1 phương trình mũ đơn giản

Cách giải hay và độc đáo luôn luôn được các thầy cô tìm tòi và sáng tạo với mục đích đem tới cho học trò của mình những phương pháp giải mới. Trong video bài giảng hôm nay thầy gửi tới chúng ta 3 lời giải hay cho cùng 1 bài toán giải phương trình mũ hết sức là cơ bản. Chúng ta cùng nhau nghiên cứu bài toán này nhé:

Giải phương trình mũ: $3^{1-x}-3^x+2=0$

Trong quá trình tìm tòi những điều mới cho các dạng bài tập thì bỗng nhiên gặp được bài toán này với 3 cách giải khác nhau. Điều hay trong lời giải mà thầy sẽ gửi tới chúng ta không phải ở phương pháp mới mà hay trong sự tư duy logic khiến người xem bị cuốn hút.

Và Thầy đã bị cuốn hút trong cách giải của bài toán này bởi có những cách mà mình cũng không nghĩ tới (tuy không phải là phương pháp mới) nó khiến não bộ mình bị kích động và kết quả là bài viết 3 cách giải hay cho 1 phương trình mũ đơn giản này ra đời.

Trước tiên khi đọc bài toán này ai trong chúng ta có lẽ cũng sẽ nghĩ tới phương pháp này đầu tiên:

1. Đặt ẩn phụ:

Ta có:
$3^{1-x}-3^x+2=0 \Leftrightarrow \frac{3}{3^x}-3^x+2=0 \Leftrightarrow -(3^x)^2+2.3^x+3=0$
Đặt $t=3^x (t>0)$. Khi đó ta có phương trình:
$-t^2+2t+3=0 \Leftrightarrow t=-1 (ktm); t=3 (t/m)$
Với $t=3 \Rightarrow 3^x=3 \Rightarrow x=1$
Vậy phương trình có 1 nghiệm là $x=1$

Vậy là cách 1 chúng ta đã biết rồi. Có gì độc đáo và hay ở lời giải của toán này đây? Các bạn nghĩ xem cách thứ 2 mà thầy sẽ trình bày với chúng ta dưới đây sẽ là thế nào?

2. Đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích:

Ta có:
$-(3^x)^2+2.3^x+3=0 \Leftrightarrow -(3^x)^2+2.3^x+2+1=0 \Leftrightarrow [1-(3^x)^2]+[2.3^x+2]=0 $
$\Leftrightarrow [(1-3^x)(1+3^x)]+2(3^x+1)=0 \Leftrightarrow (3^x+1)(1-3^x+2)=0\Leftrightarrow (3^x+1)(3-3^x)=0$
$ \Leftrightarrow 3-3^x=0 \Leftrightarrow 3^x=3 \Leftrightarrow x=1$ ( Vì $3^x+1>0$ $ \forall x\in R$)
Vậy phương trình có 1 nghiệm là $x=1$

Thế là kết thúc cách thứ 2 rồi, các bạn có thấy lời giải này hay và độc đáo chưa? Chắc chắn là có một chút rồi phải không và cách giải này cũng không có gì là mới đúng không? Vì đặt nhân tử chung thì chúng ta học từ lớp 8 rồi. Vậy lời giải độc đáo ở đây chắc chắn sẽ nằm tiếp trong cách thứ 3 này rồi. Các bạn cũng thử nghĩ xem liệu tiếp theo thầy sẽ gửi tới chúng ta lời giải nào?

3.  Ứng dụng của đạo hàm:

Xét hàm số:
$f_{(x)}=3^{(1-x)}-3^x+2 \Rightarrow f’_{(x)} = -3^{(1-x)}.ln3-ln3.3^x = -(3^{(1-x)}.ln3+ln3.3^x) <0\forall x\in R$

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên R. Từ đó ta có phương trình trên có duy nhất 1 nghiệm.
Ta thấy $x=1$ là một nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm $x=1$.

Kết luận:

Đúng là cách này ít ai nghĩ tới đúng không? Thầy cố tình gửi tới chúng ta lời giải cho bài toán phương trình mũ cơ bản này theo mạch tư duy thông thường khi giải toán. Tức là khi nhìn vào bài toán này điều đầu tiên thầy trò chúng ta nghĩ tới là : À, bài toán này dễ ợt, đặt ẩn phụ là ok ngay thôi.

Vâng đó là điều hiển nhiên và chắc chắn sẽ sảy ra. Tiếp tục cách thứ 2 sẽ có người sử dụng nhưng số lượng khá ít. Tiếp tục cho cách thứ 3 thì chắc hẳn ít ai nghĩ tới, tuy nhiên vẫn có nhưng là số ít và đếm được.

Vậy là thầy vừa trình bày với chúng ta 3 cách giải hay cho 1 phương trình mũ cực kì đơn giản đúng không? Sau lời giải này, thầy đã quyết định làm 1 video bài giảng gửi tới chúng ta. Trong video này có lời giải chi tiết và có bổ xung thêm hình minh họa. Các em nên xem thêm video này.

Nếu bạn nào có thêm cách giải nào hay nữa thì chúng ta cùng nhau thảo luận thêm dưới phần bình luận nhé.

Ngoài ra các em cũng có thể xem thêm 1 số video bài giảng về phương trình mũ và logarit của thầy:

1. Các phương pháp giải phương trình mũ

2. Các phương pháp giải phương trình Logarit

Và đây là bài giảng cuối cùng của năm Giáp Ngọ. Chuẩn bị tới giờ đón giao thừa rồi mà không có “Pháo Nổ “ chứ. hoctoan24h.net xin gửi tới tất cả các bạn đọc một năm mới “An Khang – Thịnh Vượng”. Trong năm mới này thaygiaongheo hứa sẽ có nhiều bài viết bổ ích hơn nữa.