Chào các bạn, tiếp tục trong chuyên đề về chứng minh quy nạp toán học thì hôm nay thầy sẽ gửi tới chúng ta một bài giảng nữa. Nội dung bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm dạng toán về chứng minh chia hết bằng quy nạp.
Đọc tới bài này ắt hẳn các bạn đã rất rõ các bước làm đối với phương pháp này. Trong dạng toán chứng minh chia hết này thầy muốn nhấn mạnh một điểm đó là: Các bạn cần phải khai thác triệt để giả thiết quy nạp, tức là trong quá trình giải toán ở bước chứng minh n=k+1, các bạn cần phải biến đổi biểu thức sao cho xuất hiện cái giả thiết quy nạp.
Bạn nào chưa rõ chứng minh quy nạp là gì thì hãy xem trước bài giảng này: Thế nào là chứng minh quy nạp toán học?
Bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm 3 bài tập với lời giải rất chi tiết.
Bài 1: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng:
A = $n^3+3n^2+5n \vdots 3$ (1)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Xét với n=1 ta có: A = 9 $\vdots$ 3. Vậy (1) đúng với n=1
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k, tức là : A = $k^3+3k^2+5k$ $\vdots $ 3 (2) (giả thiết quy nạp)
Bước 3: Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh
A = $(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)$ $\vdots $ 3
Ta có: A = $(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)$
= $k^3+3k^2+3k+1 +3k^2+6k+3 +5k+5$ (ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)
= $(k^3+3k^2+5k)+3k^2+9k+9$
= $(k^3+3k^2+5k)+3(k^2+3k+3)$ $\vdots$ 3
Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên $(k^3+3k^2+5k)$ $\vdots$ 3
$3(k^2+3k+3)$ $\vdots$ 3 (hiển nhiên)
Vậy (1) đúng với n=k+1
Kết luận: Vậy A = $n^3+3n^2+5n \vdots 3$ với n là một số nguyên dương.
Bài 2: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng: B = $4^n+15n-1 \vdots 9$ (1)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Xét với n=1 ta có: B = 18 $\vdots$ 9. Vậy (1) đúng với n=1
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k, tức là : $B_k = 4^k+15k-1$ $\vdots $ 9 (2) (giả thiết quy nạp)
Bước 3: Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh
$B_{k+1} = 4^{k+1}+15(k+1)-1$ $\vdots $ 9
Ta có: $B_{k+1} = 4^{k+1}+15(k+1)-1$
= $4.4^k+15k+14$ (ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)
= $4(4^k+15k-1)-45k+18$
= $4.B_k -9(5k-2)$ $\vdots$ 9
Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên $B_k$ $\vdots$ 9
$9(5k-2)$ $\vdots$ 9 (hiển nhiên)
Vậy (1) đúng với n=k+1
Kết luận: Vậy B = $4^n+15n-1 \vdots 9$ với n là một số nguyên dương.
Bạn có quan tâm: Bài tập chứng minh đẳng thức bằng quy nạp có lời giải
Bài 3: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng: C = $7.2^{2n-2}+3^{2n-1}$ $ \vdots 5$ (1)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Xét với n=1 ta có: C = 10 $\vdots$ 5. Vậy (1) đúng với n=1
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k, tức là : $C_k = 7.2^{2k-2}+3^{2k-1}$ $\vdots $ 5 (2) (giả thiết quy nạp)
Bước 3: Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh
$C_{k+1} =7.2^{2(k+1)-2}+3^{2(k+1)-1}$ $\vdots $ 9
Ta có: $C_{k+1} = 7.2^{2(k+1)-2}+3^{2(k+1)-1}$
= $7.2^{2k+2-2}+3^{2k+2-1}$
= $7.2^2.2^{2k-2}+3^2.3^{2k-1}$
= $4.7.2^{2k-2}+9.3^{2k-1}$ (ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)
= $4(7.2^{2k-2}+3^{2k-1})+5.3^{2k-1}$
= $4.C_k+5.3^{2k-1}$
Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên $C_k$ $\vdots$ 5
$5.3^{2k-1}$ $\vdots$ 5 (hiển nhiên)
Vậy (1) đúng với n=k+1
Kết luận: Vậy C = $7.2^{2n-2}+3^{2n-1}$ $\vdots 5$ với n là một số nguyên dương.
Trên đây là lời giải chi tiết của 3 bài toán chứng minh chia hết bằng quy nạp. Như các bạn đã xem trong nội dung của lời giải thì điều quan trọng đối với dạng này là phải nhân, chia, thêm, bớt để làm sao xuất hiện được cái giả thiết quy nạp là sẽ Ok. Các bạn nghiên cứu kỹ lời giải của 3 bài toán trên và hoàn thành cho thầy 3 bài tập tự luyện dưới đây nhé.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng:
a. $n^3+11n \vdots 6$
b. $2n^3-3n^2+n \vdots 6$
c. $11^{n+1}+12^{2n-1} \vdots 133$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
chung minh rang 1/1*2 + 1/2*3 + 1/n*(n+1) = n/n+1
đề chỗ câu 2n^3-3n^2 +n chia hết cho 6 đề bị sao r
Hãy giúp e với: Chứng minh rằng 5^n+2.3^(n-1)+1 chia hết cho 8!!!!
giúp em vs ak A=3^2n+1 +2^6n+1 chia hết cho 11 với mọi n
Em xem lại đầu bài xem nhé, bởi nếu em thử với n=0, n=1 đã không thỏa mãn rồi.
cmr \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}} có 100 dấu căn không là so tu nhien
Giup em voi….1 + 3+3^2+3^3+….+3^11 chia hết cho 13
Em nhóm lần lượt 3 số lại với nhau
$(1+3+3^2)+(3^3+3^4+3^5)+(3^6+3^7+3^8)+(3^9+3^{10}+3^{11})$
$=13+3^3(1+3+3^2)+3^6(1+3+3^2)+3^9(1+3+3^2)$
$=13+13.3^3+13.3^6+13.3^9$
chia hết cho 13
Thầy hãy giải thích giùm em : 3×3^2×3^3×……..×3^20chia hết cho 7 nha thầy
thầy có thể chữa ý b phần bài tập tự luyện đc ko ạ
cho a,b tu nhien a>b . c mr : B=a^2b^2(a^4-b^4) chia het cho 60
Giúp em câu này với ạ
CMR: 13^n -1 chia hết cho 6
em áp dụng 13^n-1=(13-1)(…) =12.(…) chia hết cho 6.
E cần thầy giúp bài tập cấp số nhân đc k thầy ?
Thầy giúp e với ạ n^3+ 3n^2+5n chia hết cho 3n với n >= 1 ạ
thầy ơi còn mấy dạng kiểu như CM 1 biểu thức chứa ẩn chia hết cho 1 biểu thức khác thì sao ạ ( vd :CM n^2+2n+6 chia hết cho n+4).Em yếu mấy dạng này quá ạ @@
Giúp em với em cần gấp ạ. Cm n^7 -n chia hết cho 14
=n(n-1)(n^5+n^4+n^3+n^2+n+1)
=n(n-1)[n^4(n+1)+n^2(n+1)+(n+1)]
=(n-1)n(n+1)(n^4+n^2+1)
=(n-1)n(n+1)(n^4-13n^2+36)+(14n^2-35)(n-1)n(n+1)
=(n-1)n(n+1)(n^2-9)(n^2-4)+(14n^2-35)(n-1)n(n+1)
=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7(2n^2+5)(n-1)n(n+1)
vì (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 14
7(2n^2-5)(n-1)n(n+1) chia hết cho 14
suy ra a^7-a chia hết cho 14