Bài tập chứng minh đẳng thức bằng quy nạp có lời giải

Trong bài giảng trước thầy đã phân tích khá rõ cho chúng ta biết như thế nào là phương pháp quy nạp và cách áp dụng phương pháp quy nạp vào giải toán. Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ trình bày tiếp nội dung của phương pháp này. Cụ thể trong bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn chúng ta giải các dạng bài tập liên quan tới việc chứng minh đẳng thức bằng quy nạp.

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi $n\in N^*$ ta có:

$2+5+8+…+3n-1=\frac{n(3n+1)}{2}$        (1)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xét với n=1, ta có: VT = 3.1-1=2; VP = $\frac{1(3.1+1)}{2} = 2 \Rightarrow VT=VP$

Vậy (1) đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k ($k\geq 1$), khi đó ta có:

$2+5+8+…+3k-1 = \frac{k(3k+1)}{2}$         (1*)     (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:

$2+5+8+…+3k-1 +[3(k+1)-1]= \frac{(k+1)[3(k+1)+1]}{2}$

$\Leftrightarrow 2+5+8+…+3k-1 +(3k+2)= \frac{(k+1)(3k+4)}{2}$         (1**)

Ta có:     VT(1**) = $2+5+8+…+3k-1 +(3k+2)$

= $\frac{k(3k+1)}{2} + (3k+2)$     theo (1*)

= $\frac{k(3k+1)+2(3k+2)}{2}$

= $\frac{3k^2+7k+4}{2}$

= $\frac{(k+1)(3k+4)}{2}$

= VP(1**)

Vậy (1) đúng với n=k+1

Kết luận: Vậy với mọi $n\in N^*$ ta có:  $2+5+8+…+3n-1=\frac{n(3n+1)}{2}$

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi $n\in N^*$ ta có:

$1^3+2^3+3^3+…+n^3=\frac{n^2.(n+1)^2}{4}$        (2)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xét với n=1, ta có: VT =1; VP = $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = 1 \Rightarrow VT=VP$

Vậy (2) đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử (2) đúng với n=k ($k\geq 1$), khi đó ta có:

$1^3+2^3+3^3+k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$         (2*)     (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Phải chứng minh (2) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:

$1^3+2^3+3^3+k^3 +(k+1)^3= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$       (2**)

Ta có:    VT(2**) = $1^3+2^3+3^3+k^3 +(k+1)^3$

= $\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3$                (theo (2*))

= $\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}$

= $\frac{(k+1)^2[k^2+4(k+1)]}{4}$

= $\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}$

= $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

= VP(2**)

Vậy (2) đúng với n=k+1.

Kết luận: Vậy với mọi $n\in N^*$ ta có:  $1^3+2^3+3^3+…+n^3=\frac{n^2.(n+1)^2}{4}$

 

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi $n\in N^*$ ta có:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$        (3)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xét với n=1, ta có: VT =$\frac{1}{2}$; VP = $\frac{2^1-1}{2^1} = \frac{1}{2}\Rightarrow VT=VP$

Vậy (3) đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử (3) đúng với n=k ($k\geq 1$), khi đó ta có:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^k}=\frac{2^k-1}{2^k}$         (3*)     (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Phải chứng minh (3) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$        (3**)

Ta có:    VT(3**) = $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}$

= $\frac{2^k-1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}$              (theo(3*))

= $\frac{2^k-1}{2^k}+\frac{1}{2. 2^k}$

= $\frac{2(2^k-1)+1}{2.2^k}$

= $\frac{2.2^k-2+1}{2.2^k}$

= $\frac{2.2^k-1}{2.2^k}$

= $\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$

= VP(3**)

Vậy (3) đúng với n=k+1

Kết luận: Vậy với mọi $n\in N^*$ ta có:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$

 

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi $n\in N^*$ ta có:

$1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1)^2$        (4)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xét với n=1, ta có: VT =$4$; VP = $4\Rightarrow VT=VP$

Vậy (4) đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử (4) đúng với n=k ($k\geq 1$), khi đó ta có:

$1.4+2.7+…+k(3k+1)=k(k+1)^2$         (4*)     (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Phải chứng minh (4) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:

$1.4+2.7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)^2$        (4**)

Ta có:    VT(4**) = $1.4+2.7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)$

= $k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)$              (theo(4*))

= $(k+1)[k(k+1)+3k+4]$

= $(k+1)(k^2+4k+4)$

= $(k+1)(k+2)^2$

= VP(4**)

Vậy (4) đúng với n=k+1

Kết luận: Vậy với mọi $n\in N^*$ ta có:  $1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1)^2$

Trên đây là lời giải chi tiết của 4 bài toán chứng minh đẳng thức bằng quy nạp. Như này cũng vừa đủ để chúng ta tham khảo và nghiên cứu rồi. Các bạn hãy xem kỹ phương pháp làm rồi hoàn thành tiếp cho thầy 4 bài tập tự luyện bên dưới nhé. Các bạn hãy thảo luận nhiệt tình trong phần bình luận bên dưới.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi $n\in N^*$ ta có:

a. $1.2+2.3+…+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

b. $1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}$

c. $1+4+7+…+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}$

d. $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$