Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn có lời giải

Bài viết này mình sẽ giới thiệu với các bạn những dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn cơ bản nhất. Mình sẽ đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể và áp dụng ngay vào bài tập

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn. Ta dùng công thức:

– Nếu phương trình đường tròn là: $(x – a)^2+(y – b)^2= R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là:

$(x_0 – a)(x- x_0) + (y_0 – b)(y- y_0) = 0$ với tâm $I(a;b)$

Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm $I(x_0, y_0)$  cho trước ở ngoài đường tròn.

Viết phương trình của đường thẳng d qua $I(x_0, y_0)$:

$y – y_0= m(x – x_0)\Leftrightarrow mx – y – mx_0+ y_0= 0$        (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

Phương trình của đường thẳng d có dạng:

$y = kx + m$ (m chưa biết) $\Leftrightarrow kx – y + m = 0$

Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m.

Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn (C) tại điểm $M(3;4)$ biết đường tròn có phương trình là: $(x-1)^2+(y-2)^2=8$

Hướng dẫn:

Đường tròn (C) có tâm là điểm $I(1;2)$ và bán kính $R=\sqrt{8}$

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm $M(3;4)$ là:

$(3-1)(x-3)+(4-2)(y-4)=0$

$\Leftrightarrow 2x+2y-14=0$

Tham khảo thêm bài giảng:

• Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn
• Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng
• 9 bài toán tiếp tuyến của đường tròn có thể bạn chưa biết?

Bài tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^2+y^2-4x+8y+18=0$

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $A(1;-3)$

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua $B(1;1)$

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình $3x-4y+5=0$

Hướng dẫn:

Các bạn hoàn toàn xác định được tâm $I(2;-4)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$

a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm $A(1;-3)$ có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác.

Các bạn thay tọa độ của điểm $A(1;-3)$ vào phương trình đường tròn (C) thấy thỏa mãn. Do đó điểm $A$ sẽ thuộc đường tròn (C).

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua $A$ có dạng là:

$1.x-3y-2(x+1)+4(y-3)+18=0$

$\Leftrightarrow x-y-4=0$

b. Các bạn thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình đường tròn (C) thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn (C). Khi điểm $B$ không thuộc đường tròn (C) thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp.

Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm $B(1;1)$ với hệ số góc $k$ là $\Delta$: $y=k(x-1)+1\Leftrightarrow kx-y-k+1=0$

Để đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của dường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm $I$ tới đường thẳng $\Delta$ phải bằng bán kính $R$.

Ta có: $d_{(I,\Delta)}=R$

$\Leftrightarrow \frac{|2k+4-k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |k+5|=\sqrt{2(k^2+1)}$

$\Leftrightarrow k^2+10k+25=2k^2+2$

$\Leftrightarrow k^2-10k-23=0$

$\Leftrightarrow k=5-4\sqrt{3}$ hoặc $k=5+4\sqrt{3}$

+. Với $ k=5-4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5-4\sqrt{3})x-5+4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5-4\sqrt{3})x-4+4\sqrt{3}$

+. Với $ k=5+4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: $y=(5+4\sqrt{3})x-5-4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=(5-4\sqrt{3})x-4-4\sqrt{3}$

c. Ở ý này liên quan tới đường thẳng vuông góc, tiện đây mình sẽ nói luôn cả về đường thẳng song song liên quan tới hệ số góc.

Cho hai đường thẳng $d_1; d_2$ lần lượt có hệ số góc là: $k_1; k_2$

+. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau, tức là: $k_1=k_2$

+. Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng $-1$, tức là: $k_1.k_2=-1$

Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$. Đường thẳng này có hệ số góc là $\frac{3}{4}$. Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là $-\frac{4}{3}$

Gọi phương trình tiếp tuyến là $\Delta$ có dạng: $y=-\frac{4}{3}x+m\Leftrightarrow 4x+3y-3m=0$

Vì đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

$d_{(I,\Delta)}=R$

$\Leftrightarrow \frac{|4.2+3(-4)-3m|}{\sqrt{25}}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |-3m-4|=5\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 9m^2+24m-34=0$

$\Leftrightarrow m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ hoặc $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$

Với $ m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$

Với $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$

Trên đây là một số dạng bài tập phương trình tiếp tuyến các bạn có thể gặp. Nếu bạn thấy bài viết hay thì hãy chia sẻ tới bạn bè của mình, commnent trong khung bên dưới để bày tỏ ý kiến của bạn.