Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ bằng phương pháp tọa độ

Với dạng toán biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong chương 1 của hình học lớp 10 thầy đã có hai bài viết khá chi tiết và đẩy đủ để các bạn tham khảo.

  1. Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
  2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ lớp 10

Còn nội dung bài giảng hôm nay thì cũng tương tự như hai bài viết kia, tuy nhiên chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán. Chúng ta cùng xét bài toán dưới đây:

Bài toán: Hãy biểu diễn vectơ $\vec{c}(c_1;c_2)$ theo các vectơ $\vec{a}(a_1;a_2)$ và $\vec{b}(b_1;b_2)$

Để giải được dạng toán này các bạn thực hiện như sau:

Bước 1: Giả sử $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$ $\hspace{2cm}$ (1)

Bước 2: Ta có $x.\vec{a}+y.\vec{b}=x(a_1;a_2)+y(b_1;b_2)=(x.a_1+y.b_1; x.a_2+y.b_2)$

Vậy (1) sảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{ll}c_1=xa_1+yb_1\\c_2=xa_2+yb_2\end{array}\right.$ $\hspace{2cm}$ (I)

Giải hệ (I) ta nhận được giá trị của cặp (x;y)

Bước 3: Kết luận.

Xem thêm bài giảng:

Bài tập biểu diễn một vectơ theo hai vectơ bằng phương pháp tọa độ

Bài tập 1: Hãy biểu diễn vectơ $\vec{c}$ theo các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ biết:

a. $\vec{a}(2;-1)$; $\vec{b}(-3;4)$ ; $\vec{c}(-4;7)$

b. $\vec{a}(1;1)$; $\vec{b}(2;-3)$ ; $\vec{c}(-1;3)$

Hướng dẫn:

a. Giả sử $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$ $\hspace{2cm}$ (1)

$x.\vec{a}+y.\vec{b}=x(2;-1)+y(-3;4)=(2x-3y;-x+4y)$

Khi đó ta có: $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$

<=> $(-4;7)= (2x-3y;-x+4y)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}-4=2x-3y\\7=-x+4y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}2x-3y=-4\\-x+4y=7\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=2\end{array}\right.$

Thay $x=1; y=2$ vào (1) ta có: $\vec{c}=\vec{a}+2.\vec{b}$

Đây chính là một đẳng thức biểu diễn vectơ $\vec{c}$ theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

b.

Giả sử $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$ $\hspace{2cm}$ (2)

$x.\vec{a}+y.\vec{b}=x(1;1)+y(2;-3)=(x+2y;x-3y)$

Khi đó ta có: $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$

<=> $(-1;3)= (x+2y;x-3y) $

<=> $\left\{\begin{array}{ll}-1=x+2y\\3=x-3y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x+2y=-1\\x-3y=3\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{3}{5}\\y=-\dfrac{4}{5}\end{array}\right.$

Thay $x= \dfrac{3}{5} ; y=-\dfrac{4}{5} $ vào (2) ta có: $\vec{c}= \dfrac{3}{5} \vec{a}- \dfrac{4}{5}\vec{b}$

Đây chính là một đẳng thức biểu diễn vectơ $\vec{c}$ theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Bài tập 2: Cho bốn điểm $A(1;1), B(2;-1), C(4;3), D(16,3)$. Hãy biểu diễn vectơ $\vec{AD}$ theo các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

Hướng dẫn:

Với bài toán này trước tiên các bạn cần xác định được tọa độ của các vectơ $\vec{AD}$, $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

Ta có: $\vec{AD}(15;2)$, $\vec{AB}(1;-2)$ và $\vec{AC}(3;2)$

Giả sử có: $\vec{AD}=x.\vec{AB}+y.\vec{AC}$

<=> $(15;2)=x.(1;-2)+y.(3;2)$

<=> $(15;2)=(x;-2x)+(3y;2y)$

<=> $(15;2)=(x+3y;-2x+2y)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}15=x+3y\\2=-2x+2y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x+3y=15\\-2x+2y=2\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=3\\y=4\end{array}\right.$

Vậy $\vec{AD}=3\vec{AB}+4\vec{AC}$

Trên đây là hai ví dụ về dạng toán biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương bằng phương pháp tọa độ. Thầy cố gắng trình bày một cách chi tiết và dễ hiểu nhất để các bạn có thể tiếp thu tốt nhất. Cuối bài viết thầy để hai bài tập giúp các bạn tự luyện sao cho thành thạo dạng toán này.

Bài tập rèn luyện:

Bài tập 1: Hãy biểu diễn vectơ $\vec{c}$ theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ biết: $\vec{a}(-4;3)$, $\vec{b}(-2;-1)$ , $\vec{c}(0;5)$

Bài tập 2: Cho bốn điểm $A(0;1), B(2;0), C(-1;2), D(6;-4)$. Hãy biểu diễn vectơ $\vec{AC}$ theo các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AD}$.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!