Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ bằng phương pháp tọa độ

Với dạng toán biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong chương 1 của hình học lớp 10 thầy đã có hai bài viết khá chi tiết và đẩy đủ để các bạn tham khảo.

1. Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ lớp 10

Còn nội dung bài giảng hôm nay thì cũng tương tự như hai bài viết kia, tuy nhiên chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán. Chúng ta cùng xét bài toán dưới đây:

Bài toán: Hãy biểu diễn vectơ $\vec{c}(c_1;c_2)$ theo các vectơ $\vec{a}(a_1;a_2)$ và $\vec{b}(b_1;b_2)$

Để giải được dạng toán này các bạn thực hiện như sau:

Bước 1: Giả sử $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$ $\hspace{2cm}$ (1)

Bước 2: Ta có $x.\vec{a}+y.\vec{b}=x(a_1;a_2)+y(b_1;b_2)=(x.a_1+y.b_1; x.a_2+y.b_2)$

Vậy (1) sảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{ll}c_1=xa_1+yb_1\\c_2=xa_2+yb_2\end{array}\right.$ $\hspace{2cm}$ (I)

Giải hệ (I) ta nhận được giá trị của cặp (x;y)

Bước 3: Kết luận.

Xem thêm bài giảng:

• 2 cách tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
• Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng hay

Bài tập biểu diễn một vectơ theo hai vectơ bằng phương pháp tọa độ

Bài tập 1: Hãy biểu diễn vectơ $\vec{c}$ theo các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ biết:

a. $\vec{a}(2;-1)$; $\vec{b}(-3;4)$ ; $\vec{c}(-4;7)$

b. $\vec{a}(1;1)$; $\vec{b}(2;-3)$ ; $\vec{c}(-1;3)$

Hướng dẫn:

a. Giả sử $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$ $\hspace{2cm}$ (1)

$x.\vec{a}+y.\vec{b}=x(2;-1)+y(-3;4)=(2x-3y;-x+4y)$

Khi đó ta có: $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$

<=> $(-4;7)= (2x-3y;-x+4y)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}-4=2x-3y\\7=-x+4y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}2x-3y=-4\\-x+4y=7\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=2\end{array}\right.$

Thay $x=1; y=2$ vào (1) ta có: $\vec{c}=\vec{a}+2.\vec{b}$

Đây chính là một đẳng thức biểu diễn vectơ $\vec{c}$ theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

b.

Giả sử $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$ $\hspace{2cm}$ (2)

$x.\vec{a}+y.\vec{b}=x(1;1)+y(2;-3)=(x+2y;x-3y)$

Khi đó ta có: $\vec{c}=x.\vec{a}+y.\vec{b}$

<=> $(-1;3)= (x+2y;x-3y) $

<=> $\left\{\begin{array}{ll}-1=x+2y\\3=x-3y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x+2y=-1\\x-3y=3\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{3}{5}\\y=-\dfrac{4}{5}\end{array}\right.$

Thay $x= \dfrac{3}{5} ; y=-\dfrac{4}{5} $ vào (2) ta có: $\vec{c}= \dfrac{3}{5} \vec{a}- \dfrac{4}{5}\vec{b}$

Đây chính là một đẳng thức biểu diễn vectơ $\vec{c}$ theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Bài tập 2: Cho bốn điểm $A(1;1), B(2;-1), C(4;3), D(16,3)$. Hãy biểu diễn vectơ $\vec{AD}$ theo các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

Hướng dẫn:

Với bài toán này trước tiên các bạn cần xác định được tọa độ của các vectơ $\vec{AD}$, $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

Ta có: $\vec{AD}(15;2)$, $\vec{AB}(1;-2)$ và $\vec{AC}(3;2)$

Giả sử có: $\vec{AD}=x.\vec{AB}+y.\vec{AC}$

<=> $(15;2)=x.(1;-2)+y.(3;2)$

<=> $(15;2)=(x;-2x)+(3y;2y)$

<=> $(15;2)=(x+3y;-2x+2y)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}15=x+3y\\2=-2x+2y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x+3y=15\\-2x+2y=2\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=3\\y=4\end{array}\right.$

Vậy $\vec{AD}=3\vec{AB}+4\vec{AC}$

Trên đây là hai ví dụ về dạng toán biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương bằng phương pháp tọa độ. Thầy cố gắng trình bày một cách chi tiết và dễ hiểu nhất để các bạn có thể tiếp thu tốt nhất. Cuối bài viết thầy để hai bài tập giúp các bạn tự luyện sao cho thành thạo dạng toán này.

Bài tập rèn luyện:

Bài tập 1: Hãy biểu diễn vectơ $\vec{c}$ theo hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ biết: $\vec{a}(-4;3)$, $\vec{b}(-2;-1)$ , $\vec{c}(0;5)$

Bài tập 2: Cho bốn điểm $A(0;1), B(2;0), C(-1;2), D(6;-4)$. Hãy biểu diễn vectơ $\vec{AC}$ theo các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AD}$.