Các dạng bài tập chỉnh hợp tổ hợp. Bài toán chọn vật, chọn bi ve – p2

Tiếp tục dạng toán về chỉnh hợp và tổ hợp chọn vật mà cụ thể là chọn bi ve. Hôm nay thầy sẽ chia sẻ với các bạn phần 2 về chủ đề này. Nếu bạn nào chưa xem được phần 1 thì xem ở link thầy để bên dưới nhé.

Bài tâp 1: Một hộp đựng 8 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Người ta chọn ra 3 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu xanh.

Hướng dẫn:

Đối với bài toán này thì các bạn có thể làm theo cách liệt kê các trường hợp có thể sảy ra hoặc sử dụng phần bù.

Cách 1: Liệt kê

Trong hộp chỉ có 2 loại bi là bi đỏ và bi xanh. Mà bài toán yêu cầu lấy ra 3 viên bi sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh. Vậy ta sẽ có các trường hợp sảy ra như sau:

• Trường hợp 1: Trong 3 viên bi lấy ra có 2 bi đỏ và 1 bi xanh.

Số cách chọn là: $C^2_8.C^1_6 =168$ cách chọn.

• Trường hợp 2: Trong 3 viên bi lấy ra có 1 bi đỏ và 2 bi xanh.

Số cách chọn là: $C^1_8.C^2_6=120$ cách chọn.

• Trường hợp 3: Trong 3 viên bi lấy ra thì cả 3 viên đều là bi xanh.

Số cách chọn là: $C^3_6 = 20$ cách chọn.

Vậy tổng số cách chọn ra 3 viên bi trong đó có ít nhất 1 viên bi xanh là:

$168+120+20=308$ cách chọn

Cách 2: Sử dụng phần bù

Số cách chọn ra 3 viên bi ngẫu nhiên từ hộp có 14 viên bi là: $C^3_{14}$ cách.

Số cách chọn ra 3 viên bi toàn màu đỏ là: $C^3_8$

Số cách chọn ra 3 viên bi trong đó có ít nhất 1 viên bi xanh là: $C^3_{14}-C^3_8 = 308$ cách chọn.

Xem thêm bài giảng:

• Các dạng bài tập quy tắc đếm
• Các dạng bài tập chỉnh hợp tổ hợp chọn vật, chọn bi ve – phần 1
• Giải các phương trình tổ hợp và chỉnh hợp

Bài tập 2: Một hộp đựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng.

a. Có bao nhiêu cách lấy ra 7 viên bi có đủ 3 màu, trong đó có 3 viên bi màu xanh và nhiều nhất 2 viên bi màu đỏ.

b. Có bao nhiêu cách lấy ra 8 viên bi có đủ 3 màu.

Hướng dẫn:

a. Sử dụng phương pháp liệt kê

Để lấy ra 7 viên bi có đủ 3 màu trong đó có 3 viên bi màu xanh và nhiều nhất 2 viên bi màu đỏ thì ta có các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Có 3 viên bi màu xanh, 1 bi màu đỏ và 3 bi màu vàng.

Số cách chọn là: $C^3_7.C^1_5.C^3_4 =700$ cách

• Trường hợp 2: Có 3 viên bi màu xanh, 2 bi đỏ và 2 bi màu vàng.

Số cách chọn là: $C^3_7.C^2_5.C^2_4= 2100$ cách.

Vậy số cách chọn ra 7 viên bi có đủ 3 màu trong đó có 3 viên bi màu xanh và nhiều nhất 2 viên bi màu đỏ là $700+2100 = 2800$ cách chọn.

b. Sử dụng phương pháp phần bù

Bước 1: Số cách chọn 8 viên bi bất kì trong tổng số 16 viên bi là: $C^8_{16}$

Bước 2: Chọn ra 8 viên bi không thỏa mãn yêu cầu (không đủ cả 3 màu)

• TH1: Chọn ra 8 viên bi gồm 2 màu xanh + đỏ có số cách chọn là: $C^8_{12}$
• TH2: Chọn ra 8 viên bi gồm 2 màu xanh + vàng có số cách chọn là: $C^8_{11}$
• TH3: Chọn ra 8 viên bi gồm 2 màu đỏ+ vàng có số cách chọn là: $C^8_{9}$

Vậy số cách chọn ra 8 viên bi có đủ cả 3 màu là:

$ C^8_{16} -( C^8_{12} + C^8_{11}+ C^8_{9})$

=$12870-(495+165+9)$

$=12201$ cách chọn.

Chú ý:

• Thầy nghĩ sẽ có bạn đặt câu hỏi tại sao trong ý b không trừ đi số cách chọn ra 8 viên bi chỉ cùng 1 màu: 8 viên bi màu xanh hoặc 8 viên bi màu đỏ hoặc 8 viên bi màu vàng.
• Lẽ ra thì phải tính thêm các trường hợp cả 8 viên bi cùng màu. Nhưng thực tế thì số bi không đủ 8 viên mỗi loại (thực tế chỉ có 7 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 4 viên bi vàng) nên trong 8 viên bi lấy ra phải có cả 2 màu.