Các dạng bài tập thiết diện qua trục của hình nón

Thiết diện qua trục của hình nón thông thường hay gặp ở một số dạng như:

• Thiết diện qua trục là một tam giác vuông
• Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân
• Thiết diện qua trục là một tam giác đều
• Thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng số độ cho trước (60 độ hay 120 độ…)
• …

Thiết diện qua trục của hình nón là hình gì?

Khi nói tới dạng toán thiết diện qua trục của hình nón thì các bạn cần hiểu rằng: thiết diện tạo ra là một mặt phẳng chứa trục của hình nón và luôn là một tam giác cân. Đỉnh của tam giác cân chính là đỉnh của hình nón và hai cạnh bên của tam giác chính là hai đường sinh. Các bạn có thể xem hình vẽ minh họa bên dưới.

Khi các bạn đã xác định được thiết diện qua trục là hình gì và biết dựng được thiết diện đó thì bài toán dạng này sẽ trở nên rất đơn giản. Một số câu hỏi có thể gặp trong dạng toán này như: Tính diện tích của thiết diện, tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, tính đường cao hay độ dài đường sinh của hình nón…

Diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi.R.l$

Diện tích toàn phần của hình nón là: $S_{tp}=S_{xq} + S_d=\pi.R.l+\pi.R^2$

Thể tích khối nón là: $V=\frac{1}{3}.S.h=\frac{1}{3}\pi.R^2.h$

Xem thêm bài giảng hay:

• Thiết diện qua đỉnh của hình nón
• Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
• 3 cách tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
• 170 câu hỏi trắc nghiệm đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm
• 3 cách giải hay cho 1 phương trình mũ đơn giản

Các dạng bài tập thiết diện qua trục của hình nón

Bài tập 1: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Tính diện tích của thiết diện.

Hướng dẫn:

Bài toán trên cho biết thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh 2a, suy ra tam giác SAB là tam giác đều. Từ đây ta cũng biết được độ dài đường sinh của hình nón. Để tính được diện tích xung quanh, thể tích ta cần tính được bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón.

Ta có:

Độ dài đường sinh của hình nón là: $l=SA=SB=2a$

Vì tam giác ABC đều, suy ra $AB=SA=SB=2a$.

Bán kính đường tròn đáy là: $R=OA = \frac{AB}{2}=a$

Vì tam giác SOB là tam giác vuông nên ta có:

Chiều cao của hình nón là: $h=SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$

a. Diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi.R.l = \pi.a.2a=2\pi.a^2$ (đvdt)

Diện tích toàn phần của hình nón là: $S_{tp}=S_{xq}+S_{d}=2\pi.a^2 + \pi.a^2 = 3\pi.a^2$ (đvdt)

b. Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}\pi.R^2.h =\frac{1}{3}.\pi.a^2.a\sqrt{3}=\frac{\pi.a^3.\sqrt{3}}{3}$ (đvtt)

c. Diện tích của thiết diện chính là diện tích của tam giác SAB, ta có:

$S_{(SAB)}=\frac{1}{2}SO.AB =\frac{1}{2}.a\sqrt{3}.2a = a^2.\sqrt{3}$ (đvdt)

Bài tập 2: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón

Hướng dẫn:

Bài toán này vẫn yêu cầu tính diện tích xung quanh, thể tích… mà giả thiết cho chiều cao $h = SO =a$ nên ta cần xác định độ dài đường sinh và bán kính đường tròn đáy.

Thiết diện qua trục là tam giác vuông SAB có $\widehat{ASB}=90^0$, mà $SA=SB$ nên suy ra tam giác ASB vuông cân tại S. Suy ra $\widehat{SBO}=45^0 \Rightarrow OB=OS=a$ hay $R=a$

Vì tam giác SOB vuông nên độ dài đường sinh là:

$l = SB=\sqrt{SO^2+OB^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

Diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi.a.a\sqrt{2}=\pi.a^2.\sqrt{2}$ (đvdt)

Diện tích toàn phần của hình nón là:

$S_{tp} = S_{xq} + S_d = \pi.a.a\sqrt{2} + \pi.a^2 = (\sqrt{2}+1)\pi.a^2 $ (đvdt)

Thể tích của khối nón là: $V=\frac{1}{3}.\pi.R^2.h = \frac{1}{3}.\pi.a^2.a=\frac{1}{3}.\pi.a^3$ (đvtt)

Bài tập 3: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón

Hướng dẫn:

Bài toán này giả thiết cũng cho thiết diện là tam giác vuông SAB => tam giác SAB cũng là tam giác vuông cân tại S. Ở đây các bạn cần xác định được chiều cao hình nón và bán kính đường tròn đáy.

Vì tam giác SOB vuông cân tại O => $SO = SB. sin(\widehat{SBO})=l.sin45^0 = \sqrt{2}{2}.l$

Từ đây suy ra $R=OB=SO$

Tới đây các bạn tự thay và tính diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối nón nhé.

Bài tập 4:Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng $120^0$
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón

Hướng dẫn:

Tam giác cân SBC có góc S bằng 120 độ => $\hat{B}=\hat{C}=30^0$

Xét tam giác vuông SOC có:

Bán kính đường tròn đáy là: $R = OC = SO. cotC = a. cot30$

Độ dài đường sinh là: $l = \sqrt{SO^2+OC^2}$

Tới đây các bạn tính tiếp và thay vào công thức là xong rồ i nhé.

Lời kết

Qua bài giảng khá chi tiết và đầy đủ các dạng bài tập về thiết diện qua trục của hình nón chắc chắn các bạn sẽ hiểu và làm được dạng toán này. Nếu các bạn thấy bài giảng hay thì hãy đăng kí nhận bài giảng mới nhất qua email đồng thời đóng góp ý kiến của bạn về bài giảng trong khung bình luận bên dưới.