Cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne hay

Khi nói tới lược đồ Hoocne (Hoocner, Hocner hay là Horner, cái tên không rõ cách gọi lắm ) hầu hết các bạn học sinh trong chúng ta đều thấy cái tên này rất quen thuộc. Vì Hoocner có rất nhiều ứng dụng trong việc giúp ta giải nhanh các bài toán. Một ứng dụng hay mà thầy sẽ gửi tới các bạn trong bài viết này chính là: Cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne.

Khi nói tới việc chia đa thức các bạn đã được học rất kỹ trong chương trình toán trung học cơ sở ở lớp 8 với phương pháp chia bình thường, tuy nhiên nếu áp dụng phương pháp sơ đồ Hoocne các bạn sẽ có một cách tính nhanh tuyệt vời vừa tiết kiệm thời gian mà lại chính xác.

Phương pháp dùng lược đồ Hoocne

Lược đồ Hoocner dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức $f_{(x)}$ cho đa thức $x-\alpha$, khi đó ta thực hiện như sau:

Giả sử cho đa thức $f_{(x)}=a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+…+a_{n-1}.x^1+a_n$. Khi đó đa thức thương $g_{(x)}=b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+…b_{n-1}$ và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

Giải thích lược đồ Hoocne:

Trong lược đồ gồm 2 hàng: Hàng trên chứa hệ số của đa thức $f_{(x)}$, hàng dưới chứa hệ số tìm được của $g_{(x)}$

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức $f_{(x)}$ theo ẩn giảm dần và đặt số $\alpha$ vào vị trí đầu tiên của hàng 2.  Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào thì hệ số của nó coi như bằng 0 và ta vẫn phải cho vào lược đồ

Bước 2: Hạ hệ số $a_0$ ở hàng trên xuống hàng dưới cùng cột. Đây cũng chính là hệ số đầu tiên của $g_{(x)}$ tìm được, tức là: $b_0=a_0$.

Bước 3: Lấy số $\alpha$ nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1.

Ta có                                  $b_1=\alpha.b_0 + a_1$

Quy tắc nhớ: “Nhân ngang, cộng chéo”

Bước 4: Cứ làm như vậy cho tới hệ số cuối cùng. và kết quả ta sẽ có:

$f_{(x)} = (x-\alpha).g_{(x)} + r$

hay $a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+…+a_{n-1}.x^1+a_n = (x-\alpha)(b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+…b_{n-1}) + r$

Chú ý:

• Bậc của đa thức $g_{(x)}$ luôn nhỏ hơn bậc của đa thức $f_{(x)}$ 1 đơn vị vì đa thức chia $x-\alpha$ có bậc là 1
• Nếu $r=0$ thì đa thức $f_{(x)}$ chia hết cho đa thức $g_{(x)}$ và $x=\alpha$ sẽ là một nghiệm của đa thức $f_{(x)}$

Phương pháp trên đây chính là cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne đó các bạn, có vẻ hơi lằng nhằng với các số ở dạng tổng quát đúng không? Để thấy được nó dễ hiểu hơn và thực sự rất dễ áp dụng thì chúng ta tiến hành làm 1 vài bài tập vậy.

Bài tập chia đa thức bằng lược đồ Hoocne

Bài 1: Thực hiện phép chia đa thức $f_{(x)} = x^4-2x^3-3x^2+7x-2$ cho đa thức $x-2$

Hướng dẫn giải

Trước khi làm bài tập này ta có một chú ý nho nhỏ: Nếu chia cho đa thức $x-2$ thì số $\alpha=2$ nếu chia cho đa thức $x+2$ thì số $\alpha=-2$.

Dựa vào hướng dẫn ở trên thầy sẽ có lược đồ hoocner cho bài toán này như sau:

Đa thức $g_{(x)}$ tìm được ở đây chính là: $g_{(x)} = 1.x^3+0.x^2-3.x+1 = x^3-3x+1$

Thầy giải thích thêm cho các bạn nhé:

Giả sử số $\alpha=2$ là một cô gái rất đẹp + chân dài. Các hệ số mới tìm được sẽ là các Đại Gia chân đất.

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của $f_{(x)}$ ở hàng 1, đặt số $\alpha=2$ vào cột 1 hàng 2, hạ hệ số đầu tiên xuống hàng 2. Hệ số đầu tiên bằng 1 (Đại gia thứ 1)

Bước 2: Đại gia thứ 1 thấy cô gái đẹp chạy tới ôm lấy, ta có 2.1. Nhưng đại gia là phải có tiền, thế là họ liền chạy lên hàng trên ôm tiếp số -2 vào (tiền của đại gia).

Ta có: 2.1+(-2) = 0, được kết quả là 0 mang xuống hàng dưới. (Đại gia thứ 2)

Bước 3: Đại gia thứ 2 này được sinh ra thấy cô gái đẹp cũng chạy tới ôm lấy, ta có 2.0. Nhưng đại gia là phải có tiền, thế là họ liền chạy lên hàng trên ôm tiếp số -3 vào (tiền của đại gia), ta có: 2.0+(-3) = -3. Được kết quả là -3 mang xuống hàng dưới. (Đại gia thứ 3)

Bước 4: Cứ tiếp tục thức hiện như vậy ta có kết quả như trong lược đồ thầy trình bày bên trên.

Kết quả ta có: $x^4-2x^3-3x^2+7x-2 = (x-2)(x^3-3x+1)$

Qua ví dụ trực quan như này các bạn thấy dễ hiểu hơn rồi chứ? Chắc chắn là dễ hiểu hơn cái lược đồ tổng quát rồi. Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng lược đồ Hoocne. Các bạn phải biết rằng những lúc nào thì ta nên sử dụng lược đồ Hoocner hay vận dụng lược đồ Hoocner trong những trường hợp như thế nào? Những bài toán như thế nào? Thầy có thể điểm danh một số trường hợp mà ta có thể dùng ngay dưới đây.

Các bài toán sử dụng được lược đồ Hoocne

• Chia đa thức cho đa thức nhanh nhất
• Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4…phương trình bậc cao
• Phân tích đa thức thành nhân tử
• …

Giờ chúng ta cùng làm thêm một bài tập nữa, bài tập về tìm nghiệm của phương trình bậc 3 nhé

Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình sau: $2x^3-x^2-5x-2=0$

Hướng dẫn giải

Với phương trình này các bạn có thể sử dụng máy tính để tính nghiệm và các bạn sẽ biết được phương trình này có 3 nghiệm là:$x=-1;x=2;x=-\frac{1}{2}$

Tuy nhiên chúng ta không thể dùng máy tính để tính nghiệm và kết luận ngay như vậy được, việc sử dụng máy tính sẽ cho ta biết được ít nhất 1 nghiệm nguyên của phương trình, từ đó ta có thể sử dụng lược đồ Hoocner để biến đổi.

Sau khi biết được 1 nghiệm nguyên của phương trình là $x=-1$, thì ta sẽ thực hiện phép chia đa thức $2x^3-x^2-5x-2=0$ cho đa thức $x+1$. Áp dụng hoocner ta sẽ được kết quả như sau:

Nhìn vào bảng trên ta có kết quả như sau:

$2x^3-x^2-5x-2=(x+1)(2x^2-3x-2)$

Rất nhanh phải không các bạn. Nếu sử dụng phép chia đa thức thông thường thì việc có được kết quả như này sẽ mất rất nhiều thời gian để tính toán.

Biến đổi tới đây chúng ta tìm nghiệm của phương trình bậc 3 này đơn giản rồi. Cụ thể như sau:

$2x^3-x^2-5x-2=0 \Leftrightarrow (x+1)(2x^2-3x-2)=0$

$ \Leftrightarrow \left [\begin{array}{ll}x+1=0\\2x^2-3x-2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left [\begin{array}{ll}x=-1\\x=2\\x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Việc giải phương trình $2x^2-3x-2=0$ các bạn có thể sử dụng công thức nghiệm để có kết quả như trên.

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: $x=-1;x=2;x=-\frac{1}{2}$

Qua hai bài tập trên các bạn đã thấy một ứng dụng rất tuyệt vời của lược đồ Hoocner: chia đa thức cho đa thức. Nếu sau khi biết được cách sử dụng mà lại không dùng tới thì quả là rất lãng phí. Nói tóm lại thì Hoocner sẽ giúp chúng ta rất nhiều trong việc học toán từ trung học cơ sở tới trung học phổ thông. Hãy bắt tay ngay vào việc rèn luyện thêm một số bài tập nữa nhé.

Bài tập rèn luyện

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a. $x^3-4x^2+x+6$

b) $x^3-5x^2-2x+24$

c) $2x^4 -x^3-17x^2+x+15$

d) $3x^4+5x^3-5x^2-5x+2$

XEM VIDEO CHO DỄ HIỂU NHÉ CÁC TRÒ