Cách tìm đạo hàm của hàm hợp lượng giác

Trong bài viết trước thầy có gửi tới các bạn một số ví dụ về cách tìm đạo hàm của hàm số hợp ở dạng đa thức, phân thức,hàm căn. Tiếp tục với đạo hàm của hàm số hợp, bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn các bạn đi tìm đạo hàm của hàm hợp lượng giác.

Các công thức tìm đạo hàm của hàm hợp lượng giác

$(sinu)’= u’.cosu$;    $[(sinu)^n]’=n.sin^{n-1}.(sinu)’$;

$(cosu)’ = -u’.sinu$;  $[(cosu)^n]’=n.cos^{n-1}.(cosu)’$;

$(tanu)’=\frac{u’}{cos^2u}$;    $[(tanu)^n]’=n.(tanu)^{n-1}.(tanu)’$;

$(cotu)’=\frac{-u’}{sin^2u}$;   $[(cotu)^n]’=n.(cotu)^{n-1}.(cotu)’$;

Trong phần này các bạn sẽ sử dụng tới công thức: $(u^n)’=n.u^{n-1}.u’$

Xem ngay để hiểu hết ý nghĩa của việc: Sử dụng đường tròn lượng giác trong giải toán

Bài tập tìm đạo hàm của hàm hợp lượng giác

Bài tập 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y=sin2x$;     b. $y=cos(5x-1)$;    c. $y=tan(2x^2)$;   d. $y=cot(\frac{3x}{2})$;

Hướng dẫn giải:

Trong bài tập 1 này các bạn thấy tất cả các hàm lượng giác của chúng ta đều là hàm hợp lượng giác, số mũ đều là 1. Do đó cách tính đơn giản rồi.

a. $y’=(sin2x)’=(2x)’.cos2x=2.cos2x$

b. $y’=[cos(5x-1)]’=-(5x-1)’.sin(5x-1)=-5.sin(5x-1)$

c. $y’=[tan(2x^2)]’=\frac{(2x^2)’}{cos^2(2x^2)}=\frac{4x}{cos^2(2x^2)}$

d. $y’=[cot(\frac{3x}{2})]’=\frac{(-\frac{3x}{2})’}{sin^2(\frac{3x}{2})}=\frac{-\frac{3}{2}}{sin^2(\frac{3x}{2})}$

Có thể bạn quan tâm: Cách tìm đạo hàm của các hàm căn thức

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y=sin(\sqrt{2x^2+4})$;                        b. $y= cos^3(2x+3)$;

c. $y= tan^3x+cot2x$;                             d. $y=cot^2(\sqrt{x^2+2})$

Hướng dẫn giải:

Trong bài tập 2 này các bạn thấy khác hẳn bài tập, bởi hàm số lượng giác của chúng ta chứa số mũ lớn hơn 1 (mũ 2; mũ 3). Vì vậy với bài tập này ta phải áp dụng nhiều bước tính đạo hàm.

a. $y’=[sin(\sqrt{2x^2+4})]’$

$=(\sqrt{2x^2+4})’.cos(\sqrt{2x^2+4})$

$=\frac{(2x^2+4)’}{2.\sqrt{2x^2+4}}.cos(\sqrt{2x^2+4})$

$=\frac{4x}{2.\sqrt{2x^2+4}}.cos(\sqrt{2x^2+4})$

Ý này các bạn phải sử dụng thêm đạo hàm của hàm hợp căn thức $(\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}$

b. $y’= [cos^3(2x+3)]’$                         Áp dụng $(u^n)’=n.u^{n-1}.u’$

$=3.cos^2(2x+3).[cos(2x+3)]’$                        Áp dụng $(cosu)’=-u’.sinu$

$=3.cos^2(2x+3).[-(2x+3)’.sin(2x+3)]$

$=3.cos^2(2x+3).[-2.sin(2x+3)]$

c. $y’= (tan^3x+cot2x)’$

$=(tan^3x)’+(cot2x)’$                  Áp dụng $(u^n)’=n.u^{n-1}.u’$  và $(cotu)’=\frac{-u’}{sin^2u}$

$=3.tan^2x.(tanx)’+\frac{-(2x)’}{sin^2(2x)}$

$=3.tan^2x.\frac{1}{cos^2x}+\frac{-2}{sin^2(2x)}$

d. $y’=[cot^2(\sqrt{x^2+2})]’$                      Áp dụng $(u^n)’=n.u^{n-1}.u’$

$=2.cot(\sqrt{x^2+2}).[cot(\sqrt{x^2+2})]’$

$=2.cot(\sqrt{x^2+2}).\frac{(-\sqrt{x^2+2})’}{sin^2(\sqrt{x^2+2})}$

$=2.cot(\sqrt{x^2+2}).\frac{-\frac{(x^2+2)’}{2\sqrt{x^2+2}}}{sin^2(\sqrt{x^2+2})}$

$=2.cot(\sqrt{x^2+2}).\frac{-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}}{sin^2(\sqrt{x^2+2})}$

$=2.cot(\sqrt{x^2+2}).\frac{-\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{sin^2(\sqrt{x^2+2})}$

Bạn có muốn xem các phương pháp: Giải phương trình lượng giác

Qua hai bài tập này có lẽ cũng giúp được các bạn hiểu thêm nhiều về cách tìm đạo hàm của hàm hợp lượng giác rồi. Thầy đã cố gắng đưa ra những ví dụ tổng quan nhất cho các dạng toán lượng giác để áp dụng cho công thức tính đạo hàm hàm hợp. Các bạn có trao đổi thêm về dạng toán này thì comment bên dưới nhé.

Các em xem video bài giảng để hiểu rõ hơn