Cách tìm điểm cố định của họ đường cong Cm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số là một dạng toán rất đa dạng. Trong chuyên đề này thầy cũng có khá nhiều video bài giảng về lý thuyết cũng như bài tập từ cơ bản tới nâng cao. Hôm nay thầy gửi tới các bạn một dạng toán nữa trong bài toán khảo sát hàm số đó là: Tìm điểm cố định của họ đường cong $(C_m)$. Đây là một dạng toán hay nhưng lại không đến nỗi khó lắm. Để đánh giá được chính xác nhận xét này của thầy các bạn hãy xem kỹ bài giảng của thầy nhé.

Xem thêm bài giảng:

• Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định bằng biểu thức vectơ
• Video bài giảng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong $(C_m)$:

Đây là bài toán rất thông dụng và là một vấn đề trong bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Phương pháp giải:

Với một giá trị của tham số $m$ ta được một đồ thị của $(C_{m})$ tương ứng. Như vậy khi $m$ thay đổi thì đồ thị $(C_m)$ cũng thay đổi theo hai trường hợp.

– Hoặc mọi điểm của $(C_m)$ đều di động.

– Hoặc có một hoặc vài điểm của $(C_m)$ đứng yên khi $m$ thay đổi.

Những điểm đứng yên khi $m$ thay đổi gọi là điểm cố định của họ đường cong $(C_m)$. Đó là những điểm mà mọi đường $(C_m)$ đều đi qua với mọi giá trị của $m$.

Nếu $A(x_0;y_0)$ là điểm cố định của đồ thị $(C_m)$ thì $y_0=f(x_0,m)$ thỏa mãn với mọi $m$. Điều này có nghĩa là phương trình $y_0=f(x_0,m)$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$.

Vậy để tìm các điểm cố định của họ đường cong $(C_m)$ ta thực hiện các bước sau đây:

1.  Đưa phương trình $y=f(x,m)$ về dạng phương trình theo ẩn $m$, có dạng như sau:

$Am + B =0$ hoặc $Am^2 + Bm + C =0$

2.  Cho các hệ số bằng $0$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}A=0\\B=0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{lll}A=0\\B=0\\C=0\end{array}\right.$

3.  Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}A=0\\B=0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{lll}A=0\\B=0\\C=0\end{array}\right.$  (*)

– Nếu hệ phương trình $(*)$ vô nghiệm thì $(C_m)$ không có điểm cố định.

– Nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm $(x_0;y_0)$ thì điểm có tọa độ $(x_0;y_0)$ là điểm cố định của $(C_m)$ .

3. Bài tập vận dụng

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: D=R\{-1}

Gọi tọa độ điểm $A$ là $A(x;y)$. $A$ là điểm cố định của họ đường cong $(C_m)$ khi và chỉ khi phương trình sau:

$y=\frac{x^2-2(m+1)x-m+2}{x+1}$

$ \Leftrightarrow x^2-2(m+1)x-m+2 = (x+1)y$

$ \Leftrightarrow (-2x-1)m +x^2-2x+2-xy-y=0$       (1) 

nghiệm đúng với mọi giá trị của $m$.

Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của $m$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{ll}-2x-1=0\\x^2-2x+2-xy-y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{13}{2}\end{array}\right.$

Dễ nhận thấy $x=-\frac{1}{2} \neq -1$ nên thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy $A(-\frac{1}{2};\frac{13}{2})$ là điểm cố định của họ đường cong $(C_m)$

Qua một ví dụ trên đây các bạn thấy việc xác định điểm cố định của họ đường cong không phải là khó. Bài tập trên là một dạng phân thức, để hiểu rõ hơn thì thầy và các bạn cùng tìm hiểu thêm một bài tập nữa về hàm đa thức.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: $D=R$

Gọi tọa độ điểm $A$ là $A(x;y)$. $A$ là điểm cố định của họ đường cong $(C_m)$ khi và chỉ khi phương trình sau:

$y=x^3-(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)$

$ \Leftrightarrow x^3-mx^2-x^2-2m^2x+3mx-2x+4m^2-2m-y=0$

$ \Leftrightarrow (-2x+4)m^2+(-mx^2+3mx-2m) + x^3-x^2-2x-y=0$

$ \Leftrightarrow (-2x+4)m^2-(x^2-3x+2)m + x^3-x^2-2x-y=0$

$ \Leftrightarrow (-2x+4)m^2 -(x-1)(x-2)m+x^3-2x-x^2-y=0$       (1) 

nghiệm đúng với mọi giá trị của $m$.

Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của $m$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{lll}-2x+4=0\\-(x-1)(x-2)=0\\x^3-x^2-2x-y=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}x=2\\\left[\begin{array}{ll}x=1\\x=2\end{array}\right.\\x^3-x^2-2x-y=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}x=2\\x^3-x^2-2x-y=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}x=2\\x^3-x^2-2x-y=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}x=2\\y=0\end{array}\right.$

Vậy $A(2;0)$ là một điểm cố định của họ đường cong $(C_m)$.

Bạn nên xem: Cách phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp

4. Lời kết

Đọc tới đây thì chắc chắn các bạn sẽ hiểu (trừ những bạn chưa hiểu) về phương pháp tìm điểm cố định của họ đường cong. Phương pháp là khá rõ ràng, công việc của các bạn chỉ là rèn luyện kỹ năng tính toán và ôn luyện thêm bài tập thôi. Dưới đây là các bài tập về nhà, các bạn hãy tham khảo và hoàn thiện cho thầy nhé.

Bài tập 3: Tìm điểm cố định của họ đường cong $y=\frac{(m-1)x+m+2}{x+m+2}$  $(C_m)$.

Đs: $A(-4;-3)$; $B(0;1)$

Bài tập 4: Tìm điểm cố định của họ đường cong $y=x^3+mx^2-m-1$  $(C_m)$

Đs: $A(1;0)$; $B(-1;-2)$

Mọi trao đổi các bạn hãy gõ vào hộp bình luận phía dưới nhé.