Cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Để tìm tập xác định của các hàm số lượng giác thì các bạn lưu ý một số kiến thức cơ bản sau:

1. Hàm số $y=sinx$ và $y=cosx$ xác định với mọi x thuộc R. Tập giá trị của hai hàm số này là: $-1\leq sinx\leq 1$; $-1\leq sinx\leq 1$

2. Hàm số $y=tanx=\dfrac{sinx}{cosx}$ xác định khi $cosx\neq 0$ <=> $x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$

3. Hàm số $y=cotx=\dfrac{cosx}{sinx}$ xác định khi $sinx\neq 0$ <=> $x \neq k\pi$

Như vậy đối với các hàm số lượng giác $sin[u(x)]; cos[u(x)]; tan[u(x)]; cot[u(x)]$ thì điều kiện xác định của chúng như sau:

1. $y=sin[u(x)]$ xác định khi và chỉ khi u(x) xác định.

2. $y=cos[u(x)]$ xác định khi và chỉ khi u(x) xác định.

3. $y=tan[u(x)]=\dfrac{ sin[u(x)]}{ cos[u(x)]}$ xác định khi và chỉ khi $cos[u(x)] \neq 0$ Hay $u(x)\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi $

4. $y=cot[u(x)]=\dfrac{ cos[u(x)]}{ sin[u(x)]}$ xác định khi và chỉ khi $sin[u(x)] \neq 0$ Hay $u(x)\neq k\pi $

(Với $k \in \mathbb{Z}$)

Nếu như hàm $u(x)$ được cho ở dưới dạng hàm phân thức thì các bạn phải chú ý tới cách tìm điều kiện xác định của hàm phân thức. Các bạn có thể xem thêm bài giảng này ở đây nhé: Cách tìm tập xác định hàm phân thức

Để hiểu hơn về việc tìm điều kiện xác định của hàm số lượng giác thì các bạn nên xem bài giảng về cách sử dụng đường tròn lượng giác. Dựa vào đường tròn lượng giác thì các bạn sẽ hiểu rõ hơn tại sao sinx, cosx, tan x, cotx và x lại khác những giá trị như vậy.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. $y=sin(\dfrac{2}{x-2})$               b. $y=cos(\sqrt{x^2-1})$

c. $y=\sqrt{2-cosx})$                       d. $y=\dfrac{sin(x+2)}{cos(x-1)}$

Hướng dẫn:

a. Điều kiện xác định của hàm số là: $x-2\neq 0$ <=> $x\neq 2$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{2\}$

b. Điều kiện xác định của hàm số là: $x^2-1\geq 0$ <=> $x^2\geq 1$ <=> $\left[\begin{array}{ll}x\geq 1\\x\leq -1\end{array}\right.$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$

c. Vì $-1\leq cosx\leq1$ nên $2-cosx>0$ với mọi x.

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$

d. Điều kiện xác định của hàm số là: $cos(x-1)\neq 0$ <=> $x-1\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ <=> $x\neq \dfrac{\pi}{2}+1+k\pi$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{\dfrac{\pi}{2}+1+k\pi, k\in \mathbb{Z}\}$

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

a. $y=tan(x+2)$                      b. $y=cot(x+\dfrac{\pi}{3})$

c. $y=\dfrac{sinx}{1+2cosx}$                   d. $y=\dfrac{tan2x}{sin3x-cos4x}$

Hướng dẫn:

a. Điều kiện xác định của hàm số là: $cos(x+2)\neq 0$ <=> $x+2\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ <=> $x\neq \dfrac{\pi}{2}-2+k\pi$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{\dfrac{\pi}{2}-2+k\pi, k\in \mathbb{Z}\}$

b. Điều kiện xác định của hàm số là: $sin(x+\dfrac{\pi}{3})\neq 0$ <=> $ x+\dfrac{\pi}{3}\neq k\pi$ <=> $ x\neq -\dfrac{\pi}{3}+k\pi$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{ -\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\}$

c. Điều kiện xác định của hàm số là: $1+2cosx \neq 0$ <=> $2cosx\neq -1$<=> $cosx \neq -\dfrac{1}{2}$ <=> $cosx \neq cos(\dfrac{2\pi}{3})$ <=> $ x\neq \pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi; k\in \mathbb{Z}\}$

d. Điều kiện xác định của hàm số là:

$\left\{\begin{array}{ll}cos2x\neq 0\\sin3x\neq cos4x\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}2x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\\sin3x\neq sin(\dfrac{\pi}{2}-4x)\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\\3x\neq \dfrac{\pi}{2}-4x+k2\pi\\3x\neq \pi-( \dfrac{\pi}{2}-4x)+k2\pi \end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\\x\neq \dfrac{\pi}{14}+\dfrac{k2\pi}{7}\\x\neq – \dfrac{\pi}{2}+k2\pi \end{array}\right.$

Vậy tập xác định của hàm số là:

$D=\mathbb{R}$\$\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \dfrac{\pi}{14}+\dfrac{k2\pi}{7},- \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\}$

Qua 2 ví dụ trên các bạn đã có thêm kiến thức về cách tìm tập xác định của các hàm số lượng giác. Dựa vào những ví dụ này các bạn có phương pháp để mở rộng ra những dạng bài tập khác. Mọi ý kiến đóng góp cho bài giảng hãy bình luận dưới khung bình luận các bạn nhé.