Cách tính đạo hàm của hàm căn thức

Đạo hàm có một ứng dụng rất lớn trong chương trình học của chúng ta. Các bạn có thể dùng đạo hàm để khảo sát hàm số, dùng đạo hàm để tìm nghiệm của phương trình… Nhưng để có thể ứng dụng được đạo hàm vào giải toán thì trước tiên các bạn cần phải nhớ và vận dụng được một cách cơ bản nhất các công thức của đạo hàm.

Các công thức cơ bản dành cho tính đạo hàm của hàm cơ bản thì không có vấn đề gì khó cả. Các bạn chỉ cần học thuộc công thức là giải được ngay thôi. Trong bài giảng này thầy muốn hướng dẫn các bạn cách sử dụng công thức để tính đạo hàm của hàm căn thức.

Công thức tính đạo hàm của hàm căn thức

Đối với hàm số có chứa căn thức thì chúng ta thường sử dụng 2 công thức đạo hàm sau để tính:

$(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ và $(\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}$

Trong đó $u$ là hàm hợp.

Ngoài ra các bạn cần sử dụng tới một số công thức nữa để tính đạo hàm cho hàm chứa căn bậc 3, căn bậc 4, căn thức dưới mẫu…

$(u^{\alpha})’ = \alpha.u^{\alpha-1}.u’$;               $\left (\frac{1}{u}\right )’ = -\frac{u’}{u^2}$

Nếu trong hàm số có chứa cả lượng giác hay hàm số mũ, hàm số logarit thì các bạn cần phải biết kết hợp hết tất cả các công thức đạo hàm.

Ngay bây giờ chúng ta sẽ cùng làm một số dạng bài tập chứa căn thức.

Xem thêm bài giảng: Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

Bài tập tính đạo hàm của hàm căn thức

Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y=\sqrt{2x}$    $\hspace{3cm}$                   b. $y=\sqrt{2x+1}$

c. $y=\sqrt{2x^2+1}$   $\hspace{2cm}$                 d. $y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Hướng dẫn giải

a. $y’=(\sqrt{2x})’=\frac{(2x)’}{2\sqrt{2x}} = \frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}$

b. $y’=(\sqrt{2x+1})’=\frac{(2x+1)’}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

c. $y’=(\sqrt{2x^2+1})’=\frac{(2x^2+1)’}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$

$y’=\left (\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\right )’$

d. $=-\frac{(\sqrt{2x+1})’}{(\sqrt{2x+1)^2}}$                                   áp dụng $\left (\frac{1}{u}\right )’ = -\frac{u’}{u^2}$

$=-\frac{(2x+1)’}{2\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}$                 áp dụng $(\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}$

$=-\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}$

$=-\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}$

$=-\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}$

Bạn có muốn xem: Giải phương trình chứa căn bằng cách sử dụng phương trình đường thẳng

Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y=\sqrt{x+\sqrt{x}}; (x>0)$ $\hspace{2cm}$  b. $y=sin\sqrt{x+1}$

c. $y= \sqrt[5]{2x+3}; (x>-\frac{3}{2})$ $\hspace{2cm}$ d. $y= \sqrt[5]{(2x^2+1)^3}$

Hướng dẫn giải:

a. $y’= \frac{(x+\sqrt{x})’}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} = \frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{x}}}$

b. $y’=(\sqrt{x+1})’.cos\sqrt{x+1}=\frac{(x+1)’}{2\sqrt{x+1}}.cos\sqrt{x+1}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.cos\sqrt{x+1}$

(Áp dụng $(sinu)’=u’.cosu$ )

c. $y=\sqrt[5]{2x+3} =\left (2x+3 \right )^{\frac{1}{5}}$;

Ta có: $y’ =\left [(2x+3)^{\frac{1}{5}}\right ]’$   (áp dụng $(u^{\alpha})’ = \alpha.u^{\alpha-1}.u’$)

$ =\frac{1}{5}\left (2x+3\right )^{\frac{1}{5}-1}.(2x+3)’$

$=\frac{1}{5}.\left ( 2x+3 \right )^{-\frac{4}{5}}.2$

$=\frac{2}{5}.\frac{1}{\left (2x+3\right )^{\frac{4}{5}}}$

$=\frac{2}{5}.\frac{1}{\sqrt[5]{(2x+3)^4}}$

d. $y= \sqrt[5]{(2x^2+1)^3}= \left (2x^2+1\right )^{\frac{3}{5}}$

Ta có: $y’ =\frac{3}{5}.\left (2x^2+1\right )^{\frac{3}{5}-1}.(2x^2+1)’$

$ =\frac{3}{5}.\left (2x^2+1\right )^{-\frac{2}{5}}.4x$

$=\frac{12}{5}x.\frac{1}{\left (2x^2+1\right )^{\frac{2}{5}}}$

$=\frac{12}{5}x.\frac{1}{\sqrt[5]{(2x^2+1)^2}}$

Trong bài tập 2 này các bạn thấy có căn bậc $n$ và trước khi tính đạo hàm thì thầy có đưa về dạng hàm số mũ. Tuy nhiên để chuyển về được hàm số mũ thì cơ số $a>0$. Nếu không có điều kiện cho cơ số a ở bài toán này thì các bạn cần chú ý trước khi chuyển từ căn thức sang hàm số mũ.

Trên đây là hai bài tập hướng dẫn các bạn cách tính đạo hàm của hàm căn thức. Có thể còn những dạng bài tập khác liên quan tới căn thức nữa mà thầy chưa có trong bài giảng này. Các bạn có thể cũng nhau trao đổi để chúng ta có thêm những dạng toán phong phú hơn nữa.