Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

Để có thể tìm được đạo hàm của hàm số chúng ta chỉ cần hiểu rõ các công thức tính đạo hàm. Việc tìm đạo hàm của những hàm cơ bản rất đơn giản, không có gì khó cả. Tuy nhiên có một dạng toán tìm đạo hàm mà các bạn mới tiếp xúc với nó sẽ cảm thấy khó hiểu và khó xác định được đạo hàm. Điều mà thầy muốn nói ở đây và sẽ trình bày trong bài viết này chính là việc đi tìm đạo hàm của hàm số hợp.

Một số công thức áp dụng tính đạo hàm của hàm số hợp

$\left(u^n\right)’=n.u^{n-1}.u’$;                  $\left(\frac{1}{u}\right)’=\frac{-u’}{u^2}$;                     $\left(\sqrt{u}\right)’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}$

Ở đây $u=u(x)$

Bài tập áp dụng tính đạo hàm của hàm số hợp

Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y=(x^7+x)^2$;                 b. $y=\frac{1}{\sqrt{5x}}$;                     c. $y=\sqrt{2x^2+x^4}$

Hướng dẫn giải:

a. $y’=\left[(x^7+x)^2\right]’=2.(x^7+x)^1.(x^7+x)’=2.(x^7+x).(7x^6+1)$

Trong đó hàm $u=x^7+x$ và $n=2$ và ở đây chúng ta áp dụng công thức $\left(u^n\right)’=n.u^{n-1}.u’$

b. $y’=\left(\frac{1}{\sqrt{5x}}\right)’=\frac{-(\sqrt{5x})’}{5x}=\frac{-(5x)’}{2\sqrt{5x}.5x}=\frac{-1}{2x\sqrt{5x}}$

Trong đó $u=\sqrt{5x}$ và ở đây chúng ta áp dụng công thức $\left(\frac{1}{u}\right)’=\frac{-u’}{u^2}$

c.  $y’=(\sqrt{2x^2+x^4})’=\frac{(2x^2+x^4)’}{2\sqrt{2x^2+x^4}}=\frac{4x+4x^3}{2\sqrt{2x^2+x^4}}=\frac{2x+2x^3}{\sqrt{2x^2+x^4}}$

Trong đó $u=2x^2+x^4$ và áp dụng công thức $\left(\sqrt{u}\right)’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}$

Các bạn xem thêm bài giảng: Cách tính đạo hàm của hàm căn thức

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $y=2x.(2x^3+3x-2)^2$;                     b. $y=(2x^3+1)^2(-5x^2+3x)$;

c. $y=\frac{(x^2-3)^2}{2x^2+4x}$ ;                          d. $y=\sqrt{(2x^2+5)^3}$

Hướng dẫn giải:

Trong bài tập 2 này chúng ta thấy phức tập hơn bài tập 1 một chút, bởi chúng có cả hàm số hợp, có cả dạng tích, dạng thương. Do đó tính toán sẽ đòi hỏi cẩn thận hơn và khó hơn.

Thầy nhắc lại một số công thức áp dụng:

$(u.v)’ = u’.v + uv’ =vu’+v’u$ (Cái này chúng ta tạm gọi là “Vú xuôi cộng Vú ngược”)

$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{vu’-v’u}{v^2}$  (Cái này chúng ta tạm gọi là “Vú xuôi trừ Vú ngược”)

Giờ chúng ta sẽ tiến hành đi tìm đạo hàm của các hàm số trên.

a. $y’=2x.(2x^3+3x-2)^2$

$ = (2x)’.(2x^3+3x-2)^2+(2x)[(2x^3+3x-2)^2]’$

$=2(2x^3+3x-2)^2+(2x)[2.(2x^3+3x-2)(2x^3+3x-2)’]$

$=2(2x^3+3x-2)^2+2x.[2.(2x^3+3x-2)(6x^2+3)]$

Trong ý (a) này các bạn thấy khi lấy đạo hàm của một tích, ta lại thấy xuất hiện đạo hàm của một hàm số hợp là $u’=[(2x^3+3x-2)^2]’=2.(2x^3+3x-2)(2x^3+3x-2)’$. Các bạn chú ý chỗ này, đây là trường hợp các bạn rất hay nhầm lẫn.

b.  $y’=[(2x^3+1)^2.(-5x^2+3x)]’ $

$= [(2x^3+1)^2]’.(-5x^2+3x)+(2x^3+1)^2.(-5x^2+3x)’$

$=2(2x^3+1)(2x^3+1)’.(-5x^2+3x)+(2x^3+1)^2.(-10x+3)$

$=2(2x^3+1).6x^2.(-5x^2+3x)+(2x^3+1)^2.(-10x+3)$

$=12x^2(2x^3+1)(-5x^2+3x)+(2x^3+1)^2.(-10x+3)$

Trong ý (b) này các bạn thấy khi lấy đạo hàm của một tích, ta lại thấy xuất hiện đạo hàm của một hàm số hợp là $u’=[(2x^3+1)^2]’=2(2x^3+1)(2x^3+1)’$.

c. $y’=\left[\frac{(x^2-3)^2}{2x^2+4x}\right]’$

$=\frac{[(x^2-3)^2]’.(2x^2+4x)-(x^2-3)^2.(2x^2+4x)’}{(2x^2+4x)^2}$

$=\frac{2.(x^2-3)(x^2-3)’.(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(4x+4)}{(2x^2+4x)^2}$

$= \frac{2.2x.(x^2-3).(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(4x+4)}{(2x^2+4x)^2}$

Trong ý (c) này các bạn thấy khi lấy đạo hàm của một thương, ta lại thấy xuất hiện đạo hàm của một hàm số hợp là $u’=[(x^2-3)^2]’=2.(x^2-3)(x^2-3)’$.

d. $y’=[\sqrt{(2x^2+5)^3}]’$

$ =\frac{[(2x^2+5)^3]’}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}$

$=\frac{3.(2x^2+5)^2.(2x^2+5)’}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}$

$=\frac{3.(2x^2+5)^2.4x}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}$

$=\frac{12x.(2x^2+5)^2}{2\sqrt{(2x^2+5)^3}}$

Trong bài này thầy hướng dẫn các bạn tính đạo hàm của hàm số hợp dạng căn thức, dạng phân thức, dạng tích, và dạng đa thức. Còn bài toán tìm đạo hàm của hàm số hợp dạng lượng giác nữa, thầy sẽ hướng dẫn các bạn trong bài giảng sau. Các bạn chờ theo dõi nhé.