Cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Để tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa thì trước tiên các bạn cần xem lại hàm số lũy thừa là như nào và tập xác định của hàm số lũy thừa ra sao.

Lý thuyết hàm số lũy thừa

Định nghĩa: Hàm số $y=x^{\alpha}$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa:

+. $D=\mathbb{R}$ nếu $\alpha$ là một số nguyên dương.

+. $D=\mathbb{R}$ \ $\{0\}$ nếu $\alpha$ là một số nguyên âm hoặc $\alpha=0$.

+. $D=(0; +\infty)$ nếu $\alpha$ không nguyên.

Công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

cho $y=x^{\alpha}$ => $y’=\alpha.x^{\alpha-1}$

Nếu $y=u^{\alpha}$ => $y’=\alpha.u^{\alpha-1}.u’$

Xem thêm bài giảng:

• Cách tính đạo hàm của hàm số logarit
• Cách tính đạo hàm của hàm căn thức
• Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
• Cách tính đạo hàm của hàm số mũ
• Cách tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $y=x^5$
b. $y=x^{100}$
c. $y=(2x^2+4x-5)^3$
d. $y=(x^2+2)^{\frac{5}{4}}$

Hướng dẫn:

a. $y=x^5$ => $y’=5.x^{5-1}=5.x^4$

b. $y=x^{100}$ => $y’=100.x^{100-1}=100.x^{99}$

c. $y=(2x^2+4x-5)^3$ => $y’=3. (2x^2+4x-5)^{3-1}. (2x^2+4x-5)’$

=> $y’=3. (2x^2+4x-5)^2. (4x+4)$

d. $y=(x^2+2)^{\frac{5}{4}}$

=> $y’=\dfrac{5}{4}. (x^2+2)^{\frac{5}{4}-1}.(x^2+2)’ $

=> $y’=\dfrac{5}{4}. (x^2+2)^{\frac{1}{4}}.2x $

Bài 2: Cho hàm số $y=f(x)=(5-x^2)^{\frac{-2}{3}}$.
a. Tính đạo hàm của hàm số tại $x=2$
b. Tìm $x$ biết $f'(x)=0$

Hướng dẫn:

a. Hàm số lũy thừa $y=f(x)=(5-x^2)^{\frac{-2}{3}}$ có số mũ là $\dfrac{-2}{3}$ không nguyên. Vì vậy các bạn cần tìm tập xác định cho hàm số lũy thừa này.

Điều kiện xác định: $5-x^2>0$ <=> $x^2<5$ <=> $-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}$

Tập xác định của hàm số: $D=(-\sqrt{5};\sqrt{5})$

$y’=\dfrac{-2}{3}.\left(5-x^2\right).^{\frac{-2}{3}-1}.(5-x^2)’$

=> $y’= \dfrac{-2}{3}.(5-x^2)^{\frac{-5}{3}}.(-2x)$

Tính đạo hàm của hàm số tại $x=2 \in D$

=> $y'(2)=f'(2)= \dfrac{-2}{3}.(5-2^2)^{\frac{-5}{3}}.(-2.2)=\dfrac{8}{3}$

b. Tìm $x$ biết $f'(x)=0$

$f'(x)=0$ <=> $ \dfrac{-2}{3}.(5-x^2)^{\frac{-5}{3}}(-2x) =0$ <=> $-2x=0$ <=> $x=0$

Vậy với $x=0$ thì $f'(x)=0$

Bài 3: Cho hàm số $y=f(x)=(2x^3+3mx+5)^5$ với m là tham số. Tìm $m$ để $f'(1)=0$

Hướng dẫn:

Để tìm được tham số m=? thì trước tiên các bạn cần tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa trên.

Ta có: $y’=5.(2x^3+3mx+5)^4.(2x^3+3mx+5)’$

=> $y’=5.(2x^3+3mx+5)^4.(6x^2+3m)$

Theo bài ra ta có:

$f'(1)=0$

<=> $5.(2.1^3+3m.1+5)^4.(6.1^2+3m)=0$

<=> $5.(3m+7)^4.(3m+6)=0$

<=> $\left[\begin{array}{ll}3m+7=0\\3m+6=0\end{array}\right.$

<=> $\left[\begin{array}{ll}m=-\dfrac{7}{3}\\m=-2\end{array}\right.$

Vậy với $m=-\dfrac{7}{3}; m=-2$ thì $f'(1)=0$

Cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa rất đơn giản phải không các bạn. Các bạn chỉ cần nhớ hai công thức tính đạo hàm ghi ở trên là có thể giải các bài toán.