Cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Để tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa thì trước tiên các bạn cần xem lại hàm số lũy thừa là như nào và tập xác định của hàm số lũy thừa ra sao.

Lý thuyết hàm số lũy thừa

Định nghĩa: Hàm số $y=x^{\alpha}$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa:

+. $D=\mathbb{R}$ nếu $\alpha$ là một số nguyên dương.

+. $D=\mathbb{R}$ \ $\{0\}$ nếu $\alpha$ là một số nguyên âm hoặc $\alpha=0$.

+. $D=(0; +\infty)$ nếu $\alpha$ không nguyên.

Công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

cho $y=x^{\alpha}$ => $y’=\alpha.x^{\alpha-1}$

Nếu $y=u^{\alpha}$ => $y’=\alpha.u^{\alpha-1}.u’$

Xem thêm bài giảng:

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $y=x^5$
b. $y=x^{100}$
c. $y=(2x^2+4x-5)^3$
d. $y=(x^2+2)^{\frac{5}{4}}$

Hướng dẫn:

a. $y=x^5$ => $y’=5.x^{5-1}=5.x^4$

b. $y=x^{100}$ => $y’=100.x^{100-1}=100.x^{99}$

c. $y=(2x^2+4x-5)^3$ => $y’=3. (2x^2+4x-5)^{3-1}. (2x^2+4x-5)’$

=> $y’=3. (2x^2+4x-5)^2. (4x+4)$

d. $y=(x^2+2)^{\frac{5}{4}}$

=> $y’=\dfrac{5}{4}. (x^2+2)^{\frac{5}{4}-1}.(x^2+2)’ $

=> $y’=\dfrac{5}{4}. (x^2+2)^{\frac{1}{4}}.2x $

Bài 2: Cho hàm số $y=f(x)=(5-x^2)^{\frac{-2}{3}}$.
a. Tính đạo hàm của hàm số tại $x=2$
b. Tìm $x$ biết $f'(x)=0$

Hướng dẫn:

a. Hàm số lũy thừa $y=f(x)=(5-x^2)^{\frac{-2}{3}}$ có số mũ là $\dfrac{-2}{3}$ không nguyên. Vì vậy các bạn cần tìm tập xác định cho hàm số lũy thừa này.

Điều kiện xác định: $5-x^2>0$ <=> $x^2<5$ <=> $-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}$

Tập xác định của hàm số: $D=(-\sqrt{5};\sqrt{5})$

$y’=\dfrac{-2}{3}.\left(5-x^2\right).^{\frac{-2}{3}-1}.(5-x^2)’$

=> $y’= \dfrac{-2}{3}.(5-x^2)^{\frac{-5}{3}}.(-2x)$

Tính đạo hàm của hàm số tại $x=2 \in D$

=> $y'(2)=f'(2)= \dfrac{-2}{3}.(5-2^2)^{\frac{-5}{3}}.(-2.2)=\dfrac{8}{3}$

b. Tìm $x$ biết $f'(x)=0$

$f'(x)=0$ <=> $ \dfrac{-2}{3}.(5-x^2)^{\frac{-5}{3}}(-2x) =0$ <=> $-2x=0$ <=> $x=0$

Vậy với $x=0$ thì $f'(x)=0$

Bài 3: Cho hàm số $y=f(x)=(2x^3+3mx+5)^5$ với m là tham số. Tìm $m$ để $f'(1)=0$

Hướng dẫn:

Để tìm được tham số m=? thì trước tiên các bạn cần tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa trên.

Ta có: $y’=5.(2x^3+3mx+5)^4.(2x^3+3mx+5)’$

=> $y’=5.(2x^3+3mx+5)^4.(6x^2+3m)$

Theo bài ra ta có:

$f'(1)=0$

<=> $5.(2.1^3+3m.1+5)^4.(6.1^2+3m)=0$

<=> $5.(3m+7)^4.(3m+6)=0$

<=> $\left[\begin{array}{ll}3m+7=0\\3m+6=0\end{array}\right.$

<=> $\left[\begin{array}{ll}m=-\dfrac{7}{3}\\m=-2\end{array}\right.$

Vậy với $m=-\dfrac{7}{3}; m=-2$ thì $f'(1)=0$

Cách tính đạo hàm của hàm số lũy thừa rất đơn giản phải không các bạn. Các bạn chỉ cần nhớ hai công thức tính đạo hàm ghi ở trên là có thể giải các bài toán.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!