Cách viết phương trình đường phân giác của góc

Để viết phương trình đường phân giác của góc thì chúng ta cần hiểu được khái niệm đường phân giác, các tính chất của đường phân giác. Sau khi nắm rõ về đường phân giác rồi thì cần sử dụng linh hoạt các tính chất đó vào các bài toán cụ thể. Bên cạnh đó chúng ta cũng cần phải sử dụng tới công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong mặt phẳng. Có một số cách viết phương trình đường phân giác của góc nhưng trong bài giảng này thầy sẽ trình bày với chúng ta chi tiết một cách. Trước tiên chúng ta xem lại những kiến thức liên quan.

Bài giảng bạn nên xem: Tính chất cực hay của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm

1. Tia phân giác của một góc

Là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.

Cho góc xOy. Nếu $Ot$ nằm giữa hai tia $Ox; Oy$ và $\widehat{xOt} =\widehat{tOy}$ thì $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

Ngược lại: Nếu $Ot$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ thì $Ot$ nằm giữa hai tia $Ox; Oy$ và $\widehat{xOt} =\widehat{tOy} =\frac{1}{2}\widehat{xOy}$.

2 Đường phân giác của một góc

Là đường thẳng chứa tia phân giác của góc đó.

3. Tính chất của đường phân giác

Tính chất 1: Mọi điểm nằm trên đường phân giác của một góc thì luôn cách đều hai cạnh của góc. Tức là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kì nằm trên đường phân giác tới hai cạnh của góc luôn bằng nhau.

Tính chất 2: Mọi điểm $M$ bất kì nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên đường phân giác của góc đó.

Tính chất 3: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Điểm này gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Tính chất 4: Đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của một góc thì vuông góc với nhau. Tức là nếu $Oz$ là đường phân giác trong của góc $xOy$ và $Ot$ là đường phân giác ngoài của góc $xOy$ thì $Oz \bot Ot$.

Tính chất 5: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. Tức là nếu $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ với $D \in BC$ thì: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

Đối với bài toán viết phương trình đường phân giác thông thường chúng ta sẽ sử dụng tới tính chất 1 và tính chất 2 (còn có cách khác nữa). Nhưng hai tính chất trên chỉ là lý thuyết, nếu chỉ sử dụng chúng thì liệu đã viết được phương trình đường phân giác chưa? Thưa các bạn rằng chưa thể viết được. Vậy chúng ta còn cần yếu tố nào nữa để hoàn thành được bài tập dạng này? Đó chính là cách tính khoảng cách theo tọa độ nữa.

4. Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Cho đường thẳng $d$ có phương trình $Ax + By + C =0$ và một điểm $M(x_0;y_0)$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ tới đường thẳng $d$ là:

$d_{(M,d)} = \frac{|A.x_0 + B.y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Bây giờ thì chúng ta có đầy đủ công cụ để làm việc rồi. Vậy ngay sau đây thầy sẽ chỉ ra cho chúng ta phương pháp để lập phương trình đường phân giác.

5. Cách viết phương trình đường phân giác

Giả sử cho tam giác $ABC$ và yêu cầu viết phương trình đường phân giác $AD$ của góc $A$.

Bước 1: Gọi $H(x;y)$ là điểm bất kì thuộc đường phân giác $AD$.

Bước 2: Tính khoảng cách $d_1$ và $d_2$ từ $H$ tới đường thẳng $AB; AC$.

Bước 3: Giải phương trình $d_1 = d_2$. Tới đây các bạn có được hai đường phân giác trong và phân giác ngoài. Nếu bài toán hỏi đường phân giác nào thì biện luận lấy đường phân giác đó. Cách biện luận như thế nào thì trong phần bài tập thầy sẽ nói rõ.

Để tính được khoảng cách từ $H$ tới hai cạnh của góc thì các bạn cần phải viết được phương trình đường thẳng $AB$ và $AC$. Điều này thì bài toán có thể cho trước phương trình hai cạnh hoặc có thể cho tọa độ 3 điểm $A, B, C$. Cũng có bài toán thì chúng ta cần đi tìm những yếu tố này trước rồi mới tính được.

Trong bài giảng này thầy chỉ đưa ra lý thuyết và hướng dẫn chúng ta một cách viết phương trình đường phân giác của một góc với những dữ kiện cho trước. Vì bài giảng này mục đích của thầy là giúp chúng ta biết cách viết phương trình, còn với những bài toán khác mà đòi hỏi phải tìm dữ kiện liên quan khác thì các bạn phải vận dụng những kiến thức của mình để làm thôi.

Bài tập liên quan: Tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ 3 chân đường cao của tam giác

5. Bài tập áp dụng

Cho tam giác $ABC$ có $A(-6, -3), B(-4, 3), C(9, 2)$. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Theo như các bước giải thầy trình bày ở trên thì bài toán này chúng ta đã biết tọa độ 3 điểm. Để viết được phương trình đường phân giác trong góc $A$ chúng ta phải đi viết phương trình đường thẳng $AB, AC$.

Gọi $d$ là đường phân giác góc $A$ và $H(x;y)$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng $d$

Viết phương trình đường thẳng $AB$:

Ta có: $\vec{AB}(2;6) \Rightarrow\vec{u}_{AB}(1;3)$. Vậy $\vec{n}_{AB}(3;-1)$ là véctơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A(-6;-3)$ có phương trình là:

$3(x+6) – 1(y+3) =0 \Leftrightarrow 3x-y+15=0$

Viết phương trình đường thẳng $AC$:

Ta có: $\vec{AC}(15;5) \Rightarrow\vec{u}_{AC}(3;1)$. Vậy $\vec{n}_{AC}(1;-3)$ là véctơ pháp tuyến của đường thẳng $AC$.

Phương trình đường thẳng $AC$ đi qua $A(-6;-3)$ có phương trình là:

$1(x+6) – 3(y+3) =0 \Leftrightarrow x-3y-3=0$

Khoảng cách từ $H$ tới đường thẳng $AB$ và $AC$

$d_{(H,AB)} = \frac{|3x-y+15|}{\sqrt{9+1}} =\frac{|3x-y+15|}{\sqrt{10}}$

$d_{(H,AC)} = \frac{|x-3y-3|}{\sqrt{9+1}} =\frac{|x-3y-3|}{\sqrt{10}}$

Vì $H$ là điểm thuộc đường phân giác góc $A$ nên ta có:

$d_{(H,AB)}=d_{(H,AC)}$

$\Leftrightarrow \frac{|3x-y+15|}{\sqrt{10}} = \frac{|x-3y-3|}{\sqrt{10}}$

$\Leftrightarrow|3x-y+15| = |x-3y-3|$

$\Leftrightarrow \left [\begin{array}{ll}3x-y+15 = x-3y-3\\3x-y+15 = -x+3y+3\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left [\begin{array}{ll}x+y+9=0\\x-y+3=0\end{array}\right.$

Xác định đường phân giác trong, phân giác ngoài

Tới đây ta được hai phương trình đường phân giác của góc $A$. Tuy nhiên ta phải chọn ra một phương trình là đường phân giác trong, một phương trình là đường phân giác ngoài của góc $A$. Để chọn ra được các bạn làm như sau.

Lấy tọa độ điểm $B$ và điểm $C$ thay vào một trong hai phương trình, sau đó xét tích của chúng. Nếu tích dương thì đó là đường phân giác ngoài, nếu tích âm thì đó là đường phân giác trong.

Thay tọa độ của điểm $B(-4;3)$ và $C(9;2)$ vào phương trình $x+y+9=0$ và xét tích của chúng, ta có:

$(-4+3+9)(9+2+9) = 8.20 =160 >0$

Do đó $x+y+9=0$ là phương trình đường phân giác ngoài.

Vậy phương trình đường phân giác trong của góc $A$ là: $x-y+3=0$.

Có thể bạn muốn xem: Chuyên đề viết phương trình tiếp tuyến

6. Lời kết

Đó là toàn bộ những lý thuyết liên quan và một bài tập áp dụng đủ để giúp các bạn hiểu rõ về cách viết phương trình đường phân giác của một góc. Trên đây chỉ là một phương pháp thôi nhé, phương pháp này hay được dùng. Ngoài phương pháp này còn có một số cách khác nữa. Bạn nào biết thêm những cách khác thì Comment dưới bài giảng này để mọi người có thêm tư liệu học tập nhé. Nếu có thời gian thì thầy sẽ trình bày với chúng ta thêm phương pháp viết khác nữa. pipi