Cách xác định hiệu của hai vectơ

Trong bài giảng hôm nay thầy gửi tới các bạn cách xác định hiệu của hai vectơ, của nhiều vectơ. Cũng như trong bài giảng trước, để xác định được hiệu của hai vectơ các bạn cũng phải hiểu rõ những khái niệm, quy tắc liên quan tới hiệu hai vectơ.

Tham khảo bài giảng:

• Cách xác định tổng của hai vectơ
• Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng

1. Hiệu của hai vectơ

a. Vectơ đối

Cho vectơ $\vec{a}$. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của $\vec{a}$, kí hiệu là $-\vec{a}$.

Mỗi vectơ đều có vectơ đối.

Ví dụ 1:

Vectơ đối của $\vec{AB}$ là $-\vec{AB}$ hay là $\vec{BA}$ nghĩa là $-\vec{AB}$=$\vec{BA}$

Vectơ đối của $\vec{MN}$ là $-\vec{MN}$ hay là $\vec{NM}$ nghĩa là $-\vec{MN}$=$\vec{NM}$

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm vectơ đối của vectơ AB và AD?

Hướng dẫn:

Tìm vectơ đối của vec tơ AB:

Theo ví dụ 1 các bạn sẽ biết được ngay một vectơ đối của $\vec{AB}$ chính là $\vec{BA}$.

Nhưng với bài toán này thì liệu còn vectơ đối nào của $\vec{AB}$ hay không? Các bạn xem lại khái niệm vectơ đối ở trên thì thấy rằng cứ vectơ nào có cùng độ dài nhưng ngược hướng với $\vec{AB}$ thì sẽ là vectơ đối của $\vec{AB}$.

Vì ABCD là hình bình hành nên $|\vec{AB}|$=$|\vec{CD}|$ nhưng hướng của chúng lại ngược nhau. Vậy $\vec{CD}$ là một vectơ đối của $\vec{AB}$.

Tới đây việc tìm vectơ đối của $\vec{AD}$ là tương tự. Như vậy các bạn hoàn toàn có thể tìm được 2 vectơ đối của $\vec{AD}$ là $\vec{DA}$ và $\vec{CB}$

b. Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Ta gọi hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là vectơ $\vec{a}$+(-$\vec{b}$), kí hiệu $\vec{a}$-$\vec{b}$

Như vậy: $\vec{a}$-$\vec{b}$ = $\vec{a}$ +(-$\vec{b}$)

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ

Chú ý: Tổng của hai vectơ đối nhau thì bằng vectơ-không: $\vec{a}$ + $(-\vec{a})$ =$\vec{0}$

c. Quy tắc trừ vectơ

Với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có: $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}$

Các bạn để ý thấy đối với quy tắc trừ vectơ ở trên thì điểm đầu của hai vectơ là giống nhau (cùng là điểm A). Còn đối với quy tắc cộng vectơ thì điểm cuối của vectơ này là điểm đầu của vectơ kia. Các bạn nhớ để ý kĩ hai quy tắc cộng trừ này nhé. Quy tắc trừ này là một cách xác định hiệu của hai vectơ.

Quy tắc trên có được là do suy ra từ quy tắc cộng vectơ. . Thầy có thể chứng minh cho các bạn thấy.

Chứng minh:

$\vec{AB}-\vec{AC}$

= $\vec{AB}+\vec{CA}$         (vì theo vectơ đối thì $-\vec{AC} =\vec{CA}$)

= $\vec{CA} +\vec{AB}$         (t/c giao hoán)

= $\vec{CB}$     (quy tắc 3 điểm)   (đfcm)

Như vậy thầy đã gửi tới các bạn toàn bộ lý thuyết về hiệu của hai vectơ và một số ví dụ giải thích. Để củng cố thêm cho các bạn cách áp dụng phép trừ vectơ vào việc giải toán thì chúng ta cùng nghiên cứu một vài bài tập sau đây.

2. Bài tập xác định hiệu của hai vectơ

Bài 1 (sgk hình học 10 -trang 12): Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\vec{AB}+\vec{BC}$ và $\vec{AB}-\vec{BC}$.

Hướng dẫn giải:

Tính đồ dài $\vec{AB}+\vec{BC}$:

Ta có: $\vec{AB}+\vec{BC} =\vec{AC}$ do đó $|\vec{AB}+\vec{BC}| =|\vec{AC}| =a$

Tính đồ dài $\vec{AB}-\vec{BC}$:

Các bạn để ý thì thấy đây là hiệu của hai vectơ nhưng hai vectơ này không có chung điểm đầu nên ta không áp dụng được quy tắc. Vậy có cách nào xác định hiệu của hai vectơ trên hay không? Chắc chắn là phải có rồi. Ở đây ta cần biến đổi một chút để đưa về đúng dạng của hiệu hai vectơ hoặc tổng của hai vectơ, sau đó áp dụng quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm hoặc quy tắc hình bình hành để tính.

Ta có: $\vec{AB}-\vec{BC}$ =$-\vec{BA}-\vec{BC}$ = $-(\vec{BA}+\vec{BC})$

Tới đây ta được tổng của hai vectơ mà có chung điểm đầu là B. Vậy ta sẽ nghĩ tới sử dụng quy tắc trung điểm.

Gọi I là trung điểm của AC, khi đó ta có: $\vec{BA}+\vec{BC}$ = $2\vec{BI}$

$\Rightarrow \vec{AB}-\vec{BC}=-(\vec{BA}+\vec{BC})=-2\vec{BI}=2\vec{IB}$

Vậy:  $|\vec{AB}-\vec{BC}|$ = $|2\vec{IB}|$ = 2$|\vec{IB}|$. Tới đây ta sẽ đi tính độ dài của vectơ $|\vec{IB}|$.

Vì tam giác ABC đều nên $BI\bot AC$. Mà I là trung điểm AC nên $IC=\frac{1}{2}AC =\frac{a}{2}$

Xét tam giác vuông BIC có: $BI=\sqrt{BC^2-IC^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}} =a\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy: $|\vec{AB}-\vec{BC}|$ =2$|\vec{IB}|$ =2.$a\frac{\sqrt{3}}{2}$ =$a\sqrt{3}$

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:

a. $\vec{CO} -\vec{OB} =\vec{BA}$                              b. $\vec{AB} -\vec{BC} =\vec{DB}$

c. $\vec{DA} -\vec{DB} =\vec{OD} -\vec{OC}$               d. $\vec{DA} -\vec{DB} +\vec{DC} =\vec{0}$

Hướng dẫn giải:

a. Chứng minh $\vec{CO} -\vec{OB} =\vec{BA}$

Ở đây chúng ta sẽ đưa về hiệu của hai vectơ có chúng điểm đầu là O.

Ta có: $\vec{CO} -\vec{OB} =\vec{OA} -\vec{OB}$   (vì ABCD là hình bình hành =>$\vec{OA} =\vec{CO}$)

= $\vec{BA}$ (quy tắc trừ vectơ)

b. Chứng minh $\vec{AB} -\vec{BC} =\vec{DB}$

Ở đây chúng ta sẽ đưa về hiệu của hai vectơ có chúng điểm đầu.

Ta có: $\vec{AB} -\vec{BC} =\vec{AB} -\vec{AD}$    (vì ABCD là hình bình hành => $\vec{BC}=\vec{AD}$)

= $\vec{DA} $  (quy tắc trừ vectơ)

c. Chứng minh $\vec{DA} -\vec{DB} =\vec{OD} -\vec{OC}$

Ta có:

$\vec{DA} -\vec{DB} =\vec{BA}$  ( quy tắc trừ vectơ)

$\vec{OD} -\vec{OC} =\vec{CD}$  ( quy tắc trừ vectơ)

Mà $\vec{BA} =\vec{CD}$  ( vì ABCD là hình bình hành)

Do đó ta sẽ có: $\vec{DA} -\vec{DB} =\vec{OD} -\vec{OC}$

d. Chứng minh $\vec{DA} -\vec{DB} +\vec{DC} =\vec{0}$

Ta có: $\vec{DA} -\vec{DB} +\vec{DC} =(\vec{DA} -\vec{DB}) +\vec{DC} $

= $\vec{BA} +\vec{DC}$   ( quy tắc hiệu hai vectơ)

=$\vec{0}$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{BA} $ và $\vec{DC}$ là hai vectơ đối =>$\vec{BA} +\vec{DC} =\vec{0}$

3. Lời kết

Qua một số ví dụ minh họa cụ thể giải thích cho các quy tắc, đồng thời với hai bài tập cơ bản trên hy vọng các bạn sẽ hiểu rõ hơn các quy tắc về hiệu của hai vectơ và cách dùng nó vào việc xác định hiệu của hai vectơ. Nếu có gì chưa rõ hoặc cần trao đổi thêm với thầy thì cứ mạnh dạn gõ vào khung bình luận phía dưới nhé. Chúc các bạn học tập tốt.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1. Cho hai điểm A, B phân biệt

a. Tìm tập hợp điểm O sao cho $\vec{OA}=\vec{OB}$

b. Tìm tập hợp điểm O sao cho $\vec{OA}=-\vec{OB}$

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. CMR  $\vec{DA}-\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{0}$