Cách xác định tổng của hai vectơ

Các bạn nên xem trước bài giảng: Các khái niệm cơ bản liên quan vectơ

Bài giảng hôm nay thầy muốn hướng dẫn các bạn cách xác định tổng của hai vectơ, tổng của nhiều vectơ. Đối với các bạn học sinh mới học chương vectơ thì bài giảng này rất cần thiết để các bạn có kiến thức nền. Chúng ta cùng xem qua những lý thuyết cần thiết để có thể xác định được tổng của hai vectơ.

1. Tổng của hai vectơ

a. Định nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\vec{AB}$ =$\vec{a}$ và $\vec{BC}$ = $\vec{b}$. Vectơ $\vec{AC}$ được gọi là tổng của hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

Ta kí hiệu tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{a}$+$\vec{b}$. Vậy $\vec{AC}$ =$\vec{a}$+$\vec{b}$.

Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

b. Các quy tắc

Quy tắc 3 điểm:

Với 3 điểm A, B, C bất kì ta luôn có:$\vec{AB}$ + $\vec{BC}$ = $\vec{AC}$

Với quy tắc 3 điểm này các bạn để ý “điểm cuối của vectơ này chính là điểm đầu của vectơ kia“. Ở đây điểm cuối của vectơ $\vec{AB}$ là B và nó sẽ là điểm đầu của vec tơ $\vec{BC}$.

Chú ý: Quy tắc 3 điểm này có thể mở rộng với nhiều điểm

Ví dụ:

Với 5 điểm A, B, C, M, N, P ta có: $\vec{AP}$ = $\vec{AC}$ + $\vec{CB}$ + $\vec{BM}$ + $\vec{MN}$ + $\vec{NP}$

Hoặc: $\vec{AP}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{BM}$ + $\vec{MC}$ + $\vec{CN}$ + $\vec{NP}$

Hoặc: $\vec{AP}$ = $\vec{AN}$ + $\vec{NB}$ + $\vec{BC}$ + $\vec{CM}$ + $\vec{MP}$  …

Các bạn có rất nhiều cách biến đổi $\vec{AP}$ theo các vectơ khác được tạo từ 5 điểm trên miễn sao các bạn áp dụng đúng quy tắc trên. Đó là một quy tắc dùng để xác định tổng của hai vectơ, nhiều vectơ

Quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD ta luôn có: $\vec{AC}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$

Ngoài ra ta còn có một số biểu thức vectơ khác nữa:

$\vec{CA}$ = $\vec{CB}$ + $\vec{CD}$;       $\vec{BD}$ = $\vec{BA}$ + $\vec{BC}$;       $\vec{DB}$ = $\vec{DA}$ + $\vec{DC}$

Quy tắc trung điểm:

Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với M là một điểm bất kì ta luôn có: $\vec{MA}+\vec{MB}=2\vec{MI}$   (Quy tắc này được suy ra từ quy tắc hình bình hành)

c. Tính chất của phép cộng vectơ

Với mọi vectơ  $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ ta có:

Tính chất giao hoán:       $\vec{a}$ +$\vec{b}$ = $\vec{b}$ + $\vec{a}$

Tính chất kết hợp:          ($\vec{a}$ + $\vec{b}$) + $\vec{c}$ = $\vec{a}$ + ($\vec{b}$ + $\vec{c}$)

Tính chất vectơ – không: $\vec{a}$ + $\vec{0}$ = $\vec{0}$ + $\vec{a}$ = $\vec{a}$

Vậy là trong bài giảng này các bạn biết được 3 cách xác định tổng của hai vectơ. Và để áp dụng như thế nào cho hợp lý thì chúng ta cùng xem một số bài tập sau đây.

Xem thêm:

• Tổng hợp lý thuyết đại số 10 chương 1 và 2
• Chứng minh hai vectơ bằng nhau
• Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng

2. Bài tập xác định tổng của hai vectơ

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy tìm vectơ tổng của các vectơ sau:

a.  $\vec{AB}$  + $\vec{AD}$

b.  $\vec{AB}$  + $\vec{OA}$

c.  $\vec{AB}$  + $\vec{CD}$

d.  $\vec{OA}$  + $\vec{OC}$

e.  $\vec{OA}$  + $\vec{OB}$ + $\vec{OC}$  + $\vec{OD}$

 

Hướng dẫn giải

a. Vì ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có ngay: $\vec{AB}$  + $\vec{AD}$ =  $\vec{AC}$

b. Xác định tổng của hai vectơ $\vec{AB}$  + $\vec{OA}$

$\vec{AB}$  + $\vec{OA}$

= $\vec{OA}$  + $\vec{AB}$   (tính chất giao hoán)

= $\vec{OB}$    (quy tắc 3 điểm)

c. Tính tổng của hai vectơ $\vec{AB}$  + $\vec{CD}$

$\vec{AB}$  + $\vec{CD}$

= $\vec{AB}$  + $\vec{BA}$ (Vì ABCD là hình bình hành nên CD=BA=>$\vec{CD}$  = $\vec{BA}$)

= $\vec{AA}$   ( Quy tắc 3 điểm)

=$\vec{0}$

d. Xác định tổng của hai vectơ $\vec{OA}$  + $\vec{OC}$

$\vec{OA}$  + $\vec{OC}$

=   $\vec{OA}$  + $\vec{AO}$ (Vì O là trung điểm của AC => OC=AO =>$\vec{OC}$ = $\vec{AO}$ )

=  $\vec{OO}$   ( Quy tắc 3 điểm )

= $\vec{0}$

e. Tìm tổng của 4 vectơ sau: $\vec{OA}$  + $\vec{OB}$ + $\vec{OC}$  + $\vec{OD}$

$\vec{OA}$  + $\vec{OB}$ + $\vec{OC}$  + $\vec{OD}$

= ($\vec{OA}$   + $\vec{OC}$)  + ($\vec{OB}$ + $\vec{OD}$)  (T/c giao hoán và kết hợp )

= ($\vec{OA}$   + $\vec{AO}$)  + ($\vec{OB}$ + $\vec{BO}$)  (Chứng minh tương tự ý d )

= $\vec{OO}$   + $\vec{OO}$  ( Quy tắc 3 điểm )

=$\vec{0}$   + $\vec{0}$

=$\vec{0}$

Bài 2:

a. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. CMR: $\vec{MA} + \vec{MB} =\vec{0}$

b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR: $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} =\vec{0}$

 

Hướng dẫn giải

a. Vì M là trung điểm của AB, nên ta có: MB=AM => $\vec{MB}=\vec{AM}$

Ta có: $\vec{MA} + \vec{MB} =\vec{MA} +\vec{AM} =\vec{MM} =\vec{0} $  (đfcm)

b. Vì G là trọng tâm tam giác, mà trọng tâm là giao của 3 đường trung tuyến nên ta sẽ nghĩ tới các trung điểm của cạnh trong tam giác ABC và tính chất trọng tâm để chứng minh.

Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia IG lấy điểm D sao cho I là trung điểm của GD.

Xét tứ giác BGCD có: IB=IC và IG=ID => BGCD là hình bình hành (dấu hiệu 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{GD} =\vec{GB} +\vec{GC}$                                (1)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC ta có: GA = 2IG => $\vec{GA} = 2\vec{IG}$               (2)

Vì I là trung điểm GD => GD=2GI =>$\vec{GD}=2\vec{GI}$                                       (3)

Xét:

$\vec{GA} +\vec{GB} +\vec{GC}$

=$\vec{GA} + (\vec{GB} +\vec{GC})$

= $\vec{GA} +\vec{GD}$   ( do (1)  )

= $2\vec{IG} +\vec{GD}$   (d0 (2) )

= $2\vec{IG} +2\vec{GI}$    (do  (3)  )

= $2(\vec{IG} +\vec{GI})$

=  $2\vec{II}$

=$2.\vec{0}$

=$\vec{0}$ (đfcm)

Bài 3 (sgk hình 10 -trang 12): Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:  $\vec{MA}+\vec{MC}$   =  $\vec{MB}+\vec{MD}$

 

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Sử dụng ngay quy tắc trung điểm

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có:

$\vec{MA}+\vec{MC} =2\vec{MI}$  (vì I là trung điểm AC)     (1)

$\vec{MB}+\vec{MD} =2\vec{MI}$  (vì I là trung điểm BD)    (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\vec{MA}+\vec{MC}$   =  $\vec{MB}+\vec{MD}$     (đfcm)

Cách 2: Sử dụng quy tắc cộng vectơ

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có:

$\vec{MA} =\vec{MI}+\vec{IA}$    (quy tắc 3 điểm)     (1)

$\vec{MC} =\vec{MI}+\vec{IC}$    (quy tắc 3 điểm)     (2)

Từ (1) và (2) ta có:  $\vec{MA}+\vec{MC}$

= $\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{MI}+\vec{IC}$

= $2\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{IC}$

= $2\vec{MI}$                              (I)

Do I là trung điểm của AC nên $\vec{IA};\vec{IC}$ là hai vectơ đối nhau, do đó $\vec{IA}+\vec{IC}=\vec{0}$

Tương tự ta cũng sẽ có:

$\vec{MB} =\vec{MI}+\vec{IB}$    (quy tắc 3 điểm)     (3)

$\vec{MD} =\vec{MI}+\vec{ID}$    (quy tắc 3 điểm)     (4)

Từ (3) và (4) ta có:  $\vec{MB}+\vec{MD}$

= $\vec{MI}+\vec{IB}+\vec{MI}+\vec{ID}$

= $2\vec{MI}+\vec{IB}+\vec{ID}$

= $2\vec{MI}$                                (II)

Do I là trung điểm của BD nên $\vec{IB};\vec{ID}$ là hai vectơ đối nhau, do đó $\vec{IB}+\vec{ID}=\vec{0}$

Từ (I) và (II) ta có : $\vec{MA}+\vec{MC}$   =  $\vec{MB}+\vec{MD}$      (đfcm)

Có thể bạn muốn xem: Cách xác định hiệu của hai vectơ

3. Lời kết

Qua bài giảng này thầy đã gửi tới chúng ta lý thuyết và các quy tắc dùng để xác định tổng của hai vectơ. Các bạn cần hiểu rõ cách áp dụng quy tắc 3 điểm và có thể mở rộng cho nhiều điểm hơn nữa. Quy tắc hình bình hành và quy tắc trung điểm.

Bây giờ các bạn rèn luyện cho thầy mấy bài tập này nhé:

1. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: $\vec{AB} +\vec{CD} =\vec{AD} + \vec{CB}$

2. Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì.

Chứng minh rằng: $\vec{MN} +\vec{NQ} +\vec{RS} = \vec{MS}+\vec{NP}+\vec{RQ}$

3. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng $\vec{OA} +\vec{OB} +\vec{OC} + \vec{OD}+\vec{OE}=\vec{0}$

4. Cho tam giác ABC. Lấy E, F sao cho: $\vec{BE} =\vec{EF} =\vec{FC}$. Tính $\vec{v} =\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{EA}+\vec{FA} $

HD:

Bài 1+2: Sử dụng quy tắc chèn thêm điểm vào giữa các vectơ

Bài 3: Sử dụng vectơ bằng nhau, t/c hình bình hành

Bài 4: Sử dụng t/c giao hoán, quy tắc 3 điểm