Cách xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng

Đối với bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thì việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng là điều rất quan trọng. Đây là một trong những điều kiện giúp cho chúng ta có thể tìm được phương trình đường thẳng, tuy nhiên cũng không phải là yêu cầu bắt buộc phải có nó thì mới viết được phương trình đường thẳng. Chúng ta còn có những cách khác nữa và tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.

Trong bài giảng này thầy sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về vectơ pháp tuyến của đường thẳng, đồng thời chỉ ra cho các bạn biết một số trường hợp có thể gặp để xác định được vectơ pháp tuyến.

Bài giảng: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Vectơ pháp tuyến là gì ?

• Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì $k.\vec{n}$ ( với k khác 0) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
• Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm nằm trên nó và một vectơ pháp tuyến của nó

Cụ thể như sau:

Nếu  $\vec{n} =(1;2)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì $\vec{n_1} =(2;4) =2\vec{n}$; $\vec{n_2} =(-2;-4) =-2\vec{n}$; $\vec{n_3} =(\frac{1}{4};\frac{1}{2}) =\frac{1}{4}\vec{n}$… cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.

Tham khảo bài giảng:

• Tính chất cực hay của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm
• Cách viết phương trình đường phân giác của góc
• Cách xác định tổng của hai vectơ
• 25 đề thi hệ tọa độ Oxy có đáp án chi tiết
• 2 cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

2. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Dạng 1:

Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng tổng quát $ax+by+c=0$ với $a^2+b^2\neq 0$ thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ là $\vec{n}=(a;b)$

Dạng 2:

Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng phương trình tham số $\left\{\begin{array}{ll}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right. t\in Z; (a^2+b^2\neq 0)$

hoặc ở dạng phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$   $(a\neq 0, b\neq 0)$ thì ta tìm vectơ pháp tuyến thông qua vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng trong trường hợp này là $\vec{u}=(a;b)$, khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ là $\vec{n}=(-b;a)$ hoặc $\vec{n}=(b;-a)$

Dạng 3:

Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:

• Xác định vectơ pháp tuyến của $d’$ là: $\vec{n}(a;b)$
• Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng $d’$ là: $\vec{u}=(-b;a)$ hoặc $\vec{u}=(b;-a)$
• Vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau nên vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của $d$ chính là vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-b;a)$ của $d’$

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thường liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, liên quan tới các đường trong tam giác như: đường cao, đường trung trực, hai đường phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc, đường tiếp tuyến với đường tròn. Tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông

Dạng 4:

Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:

• Xác định vectơ pháp tuyến của $d’$ là: $\vec{n}(a;b)$
• Vì 2 đường thẳng song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng này chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của $d$ chính là vectơ $\vec{n}=(a;b)$ của $d’$

Đường thẳng song song với đường thẳng thường liên quan tới các đường như: đường trung bình trong tam giác, đường trung bình trong hình thang, tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông, tính chất từ vuông góc tới song song.

Xem thêm: Tọa độ trong mặt phẳng

Đó là những phương pháp cơ bản mà chúng ta thường gặp trong việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng khi viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Bài viết này chỉ là tập hợp lại kiến thức rơi vãi ở một số nơi, giúp các bạn có cái nhìn tổng quan hơn trong việc đi tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Điều mà nhiều bạn rất cần để có cái nhìn tổng quan hơn.