Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là D

Hàm số $y=f(x)$ gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1. $\forall{x}\in D$ thì ${-x}\in D$

2. $f(-x)=f(x)$

Hàm số $y=f(x)$ gọi là hàm số lẻ nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1. $\forall{x}\in D$ thì ${-x}\in D$

2. $f(-x)=-f(x)$

Lưu ý:

Trước tiên các bạn cần tìm tập xác định của hàm số

Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số nếu vi phạm một trong hai điều kiện trên thì hàm số sẽ không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ.

Cụ thể:

• Với điều kiện 1: Phải đúng với mọi số x, tức là lấy 1 giá trị x bất kì thuộc tập xác định D thì số đối của nó là –x cũng phải thuộc tập xác định D. Tức tập hợp D là tập đối xứng.
• Với điều kiện 2: Các em phải tính f(-x), sau đó so sánh f(-x) với f(x) hoặc so sánh f(-x) với –f(x). Nếu thỏa mãn điều kiện 2 thì kết luận hàm số có tính chẵn hay lẻ, ngược lại thì kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Khi xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác các em chú ý tới điều kiện của hàm số lượng giác. Điều kiện xác định thì chú ý tới hàm số tan hoặc là cot, ngoài ra cá các hàm phân thức hoặc hàm số có chứa căn bậc chẵn.

Xem thêm bài giảng:

• Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số
• Cách biểu diễn một vecto theo hai vecto không cùng phương
• Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vecto lớp 10

Bài 1: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

a. $y=f(x)=2x+sinx$           b. $y=f(x)=|x|cos5x$                     
c. $y=f(x)=|x|sin5x$            d. $y=f(x)=sin^2{2x}+cos3x$
e. $y=f(x)=cosx+sinx$     f. $y=f(x)=\dfrac{sin^{2020}x+2019}{cosx}$

Hướng dẫn :

a. Xét hàm số lượng giác $y=f(x)=2x+sinx$

Tập xác định của hàm số là $D=R$

Xét điều kiện 1 :

$\forall x\in D$ thì $ -x\in D$ thỏa mãn vì D=R

Xét điều kiện 2:

$f(-x) = 2(-x)+sin(-x) = -2x-sinx=-(2x+sinx)=-f(x)$

Hàm số thỏa mãn cả hai điều kiện 1 và 2 nên hàm số lượng giác $y= f(x)=2x+sinx $ là hàm số lẻ.

b. Xét hàm số lượng giác $y=f(x)=|x|cos5x$  

Tập xác định của hàm số là $D=R$

Xét điều kiện 1 :

$\forall x\in D$ thì $-x\in D$ thỏa mãn vì D=R

Xét điều kiện 2:

$f(-x) = |-x|.cos(-x)=|x|.cosx=f(x)$

Hàm số thỏa mãn cả hai điều kiện 1 và 2 nên hàm số $y=f(x)=|x|.cosx $ là hàm số chẵn.

c. Xét hàm số lượng giác $y=f(x)=|x|sin5x$   

Tập xác định của hàm số là $D=R$

Xét điều kiện 1 :

$\forall x\in D$ thì $ -x\in D$ thỏa mãn vì D=R

Xét điều kiện 2:

$f(-x) = |-x|.sin(-x)=|x|.(-sinx)=-|x|.sinx=-f(x)$

Hàm số thỏa mãn cả hai điều kiện 1 và 2 nên hàm số lượng giác $y=f(x)=|x|.sinx $ là hàm số lẻ.

d. Xét hàm số lượng giác $y=f(x)=sin^2{2x}+cos3x$

Tập xác định của hàm số là $D=R$

Xét điều kiện 1 :

$\forall x\in D$ thì $-x\in D$ thỏa mãn vì D=R

Xét điều kiện 2:

$f(-x)=sin^2(-2x)+cos(-3x) = [sin(-2x)]^2+cos3x=[-sin2x]^2+cos3x=sin^22x+cos3x=f(x)$

Vậy hàm số lượng giác trên là hàm số chẵn.

e. Xét hàm số lượng giác $y=f(x)=cosx+sinx$

Tập xác định của hàm số là $D=R$

Xét điều kiện 1 :

$\forall x\in D$ thì $ -x\in D$ thỏa mãn vì D=R

Xét điều kiện 2:

$f(-x)= cos(-x)+sin(-x) =cosx-sinx$

$-f(x)=-(cosx+sinx)=-cosx-sinx$

$f(x)=cosx+sinx$

=> $f(-x) \neq -f(x)$ và $f(-x) \neq f(x)$

Vậy hàm số lượng giác trên không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ vì điều kiện 2 không thỏa mãn.

f. Xét hàm số lượng giác $y=\dfrac{sin^{2020}x+2019}{cosx}$

Đây là một hàm số chứa cosx ở dưới mẫu, do đó ta cần tìm điều kiện xác định của hàm số.

Ta có: $cosx \neq 0$ => $x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in Z$

Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$ \ $\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in Z \}$

Xét điều kiện 1 :

$\forall x\in D$ thì $ -x\in D$.

Xét điều kiện 2:

     $f(-x)=\dfrac{sin^{2020}(-x)+2019}{cos(-x)}=\dfrac{sin^{2020}x+2019}{cos(x)}=f(x)$

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn.

Trên đây là một số ví dụ để hướng dẫn các bạn phương pháp xét tính chẵn lẻ của một hàm số lượng giác. Qua 6 bài tập thầy cũng đưa ra cho các bạn trường hợp hàm số lượng giác chẵn, trường hợp hàm số lượng giác lẻ và cả trường hợp hàm số lượng giác không chẵn cũng không lẻ.

Hy vọng bài giảng dễ hiểu và giúp các bạn có kiến thức nền tảng để làm tốt dạng toán này. Mọi ý kiến đóng góp xin comment bên dưới khung bình luận của bài giảng.

Bài rèn luyện:

Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác sau:

1. $y=xcos3x$                     d. $y=x^3sin4x$
2. $y=2x+cosx$                  e. $y=cos2x+sin2x$
3. $y=2019x-sinx$              f. $y=\dfrac{x^5+sinx}{cos2x}$