Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng – hay

Sử dụng phương pháp phản chứng giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán hay, nhìn tưởng khó mà hóa ra lại đơn giản. Trong bài giảng này thầy muốn nói tới việc sử dụng phương pháp phản chứng trong chứng minh định lý. Đối với các bạn học sinh lớp 10 khi học ngay chương đầu tiên về mệnh đề sẽ được làm quen với chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Muốn sử dụng tốt phương pháp này các bạn cần hiểu rõ một số mệnh đề toán học như: Mệnh đề kéo theo, mệnh đề phủ định, mệnh đề với mọi, mệnh đề tồn tại.

Tham khảo bài giảng:

• Dùng mệnh đề toán học để phân tích câu ca dao
• Cách xác định hiệu của hai vectơ
• Cách xác định tổng của hai vectơ

Mệnh đề là gì?

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc câu khẳng định sai. Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. Một mệnh đề không thể vừa có tính đúng, vừa có tính sai.

Ví dụ: 

• 2+2=4 là một mệnh đề đúng
• 2+2= -5 là một đề sai
• Ôi! Trời hôm nay nóng quá! Đây không phải là mệnh đề.

Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P.

Kí hiệu: $\overline{P}$

Nếu mênh đề P đúng thì mệnh đề $\overline{P}$ sai và ngược lại nếu mệnh đề $\overline{P}$ đúng thì mệnh đề P sai.

Mệnh đề với mọi ($\forall$) và tồn tại ($\exists$)

Đây là hai mệnh đề phủ định của nhau. Rất nhiều học sinh không biết tìm mệnh đề phủ định của hai mệnh đề này. Ở đây thầy sẽ giúp các bạn phân biệt hai mệnh đề này và tìm mệnh đề phủ định của chúng. Bởi hai mệnh đề này được sử dụng rất nhiều trong các bài toán áp dụng chứng minh phải chứng.

• Nếu cho mệnh đề “$\forall x\in X,P(x)$” thì phủ định của nó sẽ là: “$\exists x\in X, \overline{P(x)}”$
• Nếu cho mệnh đề “$\exists x\in X,P(x)$” thì phủ định của nó sẽ là: “$\forall x\in X, \overline{P(x)}”$

Ví dụ:

Nếu có mệnh đề “Có ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.”

Thì phủ định của nó sẽ là: “Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.”

Như vậy thầy đã nói qua về một số khái niệm sẽ dùng tới trong quá trình chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Các bạn cần chú ý kĩ tới mệnh đề phủ định, mệnh đề với mọi và tồn tại cho thầy, bởi chúng sẽ được sử dụng rất nhiều trong quá trình chứng minh. Lý thuyết là như vậy đó, quan trọng là vận dụng ra sao trong việc giải quyết bài toán chứng minh phản chứng.

Phương pháp chứng minh phản chứng

Các bạn cần xác định được đúng mệnh đề P, mệnh đề Q. Từ đó tìm mệnh đề phủ định của Q là $\overline{Q}$.

Các bạn làm như sau:

• Các bạn xác định mệnh đề P, Q và $\overline{Q}$
• Giả sử mệnh đề Q sai, tức là mệnh đề $\overline{Q}$ sẽ đúng.
• Lập luận và sử dụng những điều đã biết để đi tới mâu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lý.
• Từ đó đi tới kết luận.

Bài tập 1:

Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n nếu $n^2$ là số chẵn thì n là số chẵn.

Hướng dẫn:

Trước tiên các bạn xác định cho thầy các mệnh đề P, Q và $\overline{Q}$

• P: $n^2$ là số chẵn
• Q: n là số chẵn
• $\overline{Q}$: n là số lẻ

Giả sử n là số lẻ, thì $n=2k+1, k\in N$

Khi đó: $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ là số lẻ. Mâu thuẫn với giả thiết $n^2$ là số chẵn. Suy ra điều giả sử sai.

Vậy: Với mọi số tự nhiên n nếu $n^2$ là số chẵn thì n là số chẵn.

Bài tập 2: 

Nếu $x\neq -1$ và $y\neq -1$ thì $x+y+xy\neq -1$

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và $\overline{Q}$ là:

• P: $x\neq -1$; $y\neq -1$
• Q: $x+y+xy\neq -1$
• $\overline{Q}$: $x+y+xy=-1$

Giả sử:                 $x+y+xy =-1 \Leftrightarrow x+y+xy+1=0$

$ \Leftrightarrow (x+1)+y(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=0$

$\Leftrightarrow $ $x=-1$ hoặc $y=-1$.

Mâu thuẫn với giả thiết là $x\neq -1$ và $y\neq -1$.

Vậy : Nếu $x\neq -1$ $y\neq -1$ thì $x+y+xy\neq -1$

Bài tập 3:

Chứng minh rằng nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và $\overline{Q}$ là:

• P: Nhốt 25 con thỏ vào 6 chuồng
• Q: Ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ
• $\overline{Q}$: Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.

Giả sử tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ. Khi đó số thỏ sẽ có tối đa là 4.6=24 con, mâu thuẫn với giả thiết là số thỏ có 25 con.

Vậy nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Bài tập 4:

Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2\geq 2bc, b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab$ với a, b, c bất kì.

Hướng dẫn:

Mệnh đề  P, Q và $\overline{Q}$ là:

• P: 3 số a, b, c bất kì
• Q: ít nhất 1 trong 3 đắng thức là đúng $a^2+b^2\geq 2bc, b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab$
• $\overline{Q}$: Tất cả các bất đẳng thức đều sai.

Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai, tức là:

$a^2+b^2 < 2bc$   (1)

$ b^2+c^2 < 2ac$   (2)

$ a^2+c^2 < 2ab$   (3)

Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta được:

$a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2<2bc+2ac+2ab$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2<0$ (vô lý). Do đó điều giả sử sai.

Vậy: Với a, b, c bất kì sẽ có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là đúng: $a^2+b^2\geq 2bc$,$b^2+c^2\geq 2ac, a^2+c^2\geq 2ab$.

Trên đây thầy đã hướng dẫn chúng ta phân tích và giải quyết một số bài toán chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Với phương pháp này các bạn giải quyết được rất nhiều bài toán và làm chúng trở lên đơn giản với lời giải dễ hiểu. Quan trọng trong phương pháp này các bạn cần xác định chính xác mệnh đề phủ định của mệnh đề Q, để từ đó có lập luận chính xác đi tới mâu thuẫn hoặc vô lý.

Bài tập chứng minh phản chứng:

Bài tập 1: Chứng minh rằng:

a. Với mọi số nguyên dương n, nếu $n^2$ là số lẻ thì n là số lẻ.

b. Với mọi số nguyên dương n, nếu $n^2$ chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.

c. Với 2 số dương a và b thì $a+b\geq 2\sqrt{ab}$.

d. Nếu $a+b<2$ thì một trong 2 số a và b nhỏ hơn 1

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a. Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất 1 góc nhỏ hơn $60^0$

b. Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

c. Nếu $x^2+y^2=0$ thì $x=0$ và $y=0$

d. Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.