Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định bằng vectơ lớp 10

Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định là như nào và làm thế nào để tìm được điểm cố định đó khi biết trước một biểu thức vectơ? Bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các bạn dạng toán này.

Phương pháp chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định

a. Cho trước 2 điểm A và B và hai số thực m, n thỏa mãn: $m+n\neq 0$. Nếu có $\vec{MN}=m.\vec{MA}+n.\vec{MB}$ thì đường thẳng MN sẽ cắt đường thẳng AB tại điểm I thỏa mãn: $m.\vec{IA}+n.\vec{IB}=\vec{0}$

Đặc biệt: Khi $m=n\neq 0$ thì I là trung điểm của AB

b. Cho trước 3 điểm A, B, C và ba số thực m, n, p thỏa mãn: $m+n+p\neq 0$. Nếu có $\vec{MN}=m.\vec{MA}+n.\vec{MB}+p.\vec{MC}$ thì đường thẳng MN sẽ cắt đường thẳng AB tại điểm I thỏa mãn: $m.\vec{IA}+n.\vec{IB}+p.\vec{IC}=\vec{0}$

Đặc biệt: Khi $m=n=p\neq 0$ thì I là trọng tâm tam giác ABC.

Các bạn có thể mở rộng ra nhiều điểm và nhiều bộ số thực nhé.

Trong phương pháp trên chỉ ra cho chúng ta cách xác định một điểm cố định I. Tức là chúng ta đi tìm một điểm cố định I thỏa mãn tính chất $m.\vec{IA}+n.\vec{IB}=\vec{0}$ hoặc $m.\vec{IA}+n.\vec{IB}+p.\vec{IC}=\vec{0}$ tùy thuộc vào từng bài toán cho. Khi đã tìm được điểm I này thì bài toán sẽ được giải quyết.

Để làm được dạng toán này thì các bạn luôn phải chú ý tới những điểm cố định mà bài toán cho. Bởi từ những điểm cố định này chúng ta có thể tìm được những điểm cố định khác. Từ đó chúng ta sẽ biến đổi biểu thức vectơ liên quan tới đường thẳng theo những vectơ có chứa điểm cố định.

Giả sử cho trước 2 điểm cố định A và B. Để chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định nào đó khi M thay đổi thì các bạn cần biến đổi vectơ $\vec{MN}$ theo một vectơ có chứa điểm cố định là A hoặc B hoặc trung điểm I của AB.

Ví dụ:

Nếu $\vec{MN}=2\vec{MI}$ thì 3 điểm M, N, I thẳng hàng hay 3 điểm M, N, I cùng nằm trên 1 đường thẳng, suy ra đường thẳng MN đi qua điểm cố định là trung điểm I của AB.

Nếu $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{MA}$ thì 3 điểm M, N, A thẳng hàng hay 3 điểm M, N, A cùng nằm trên 1 đường thẳng, suy ra  đường thẳng MN đi qua điểm cố định là A.

Để biến đổi được các biểu thức vectơ như trên thì các bạn cần nắm chắc các khái niệm liên quan tới vectơ như: Quy tắc cộng vectơ, trừ vectơ, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ cùng phương… Nếu bạn nào chưa rõ thì có thể tham khảo thêm một số bài giảng này nhé:

Tham khảo bài giảng:

• Đầy đủ các khái niệm liên quan vecto 
• Cách xác định tổng của hai vecto
• Cách xác định hiệu của hai vecto
• Cách chứng minh hai vecto cùng phương đơn giản nhất

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho tam giác ABC, điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn:

$\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}$

a. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC khi M thay đổi.

b. Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh rằng đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Hướng dẫn:

a. Theo như phương pháp ở trên, để chứng minh MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC thì ta cần biến đổi $\vec{MN}=k.\vec{MG}$ với k là một hằng số khác 0.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$

Theo giả thiết:

$\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=(\vec{MG}+\vec{GA})+(\vec{MG}+\vec{GB})+(\vec{MG}+\vec{GC})$

$=3\vec{MG}+(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})=3\vec{MG}+\vec{0}$

Vậy $\vec{MN}=3\vec{MG}$

Từ đây ta kết luận: đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC khi M thay đổi.

b. Cách 1: 

Vì P là trung điểm của CN nên ta có:

$\vec{MP}=\frac{1}{2}(\vec{MN}+\vec{MC})$

Mà $\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}$ nên suy ra

$\vec{MP}=\frac{1}{2}(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MC})=\frac{1}{2}(\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC})$          (1)

Tới đây các bạn thấy nó giống biểu thức như trên phần phương pháp chưa?  $\vec{MN}=m.\vec{MA}+n.\vec{MB}+p.\vec{MC}$

Giờ chúng ta cần phải tìm 1 điểm I cố định thỏa mãn: $\vec{IA}+\vec{IB}+2\vec{IC}=\vec{0}$

Gọi I là điểm thỏa mãn:

$\vec{IA}+\vec{IB}+2\vec{IC}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{IA}+(\vec{IA}+\vec{AB})+2(\vec{IA}+\vec{AC})=\vec{0}$

$\Leftrightarrow 4\vec{IA}+\vec{AB}+2\vec{AC}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{AI}=\frac{1}{4}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}$

Suy ra tồn tại duy nhất điểm I cố định

Từ (1) ta có:

$\vec{MP}=\frac{1}{2}(\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC})$

$=\frac{1}{2}(\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{MI}+\vec{IB}+2\vec{MI}+2\vec{IC})$

$=\frac{1}{2}(4\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{IB}+2\vec{IC})$

$=\frac{1}{2}(4\vec{MI}+\vec{0})$   (do tính chất điểm I tìm được ở trên)

$=2\vec{MI}+\vec{0} =2\vec{MI}$

Vậy $\vec{MP}=2\vec{MI}$

Ta có kết luận: đường thẳng MP luôn đi qua điểm cố định là I khi M thay đổi.

Chú ý: 

Thầy sẽ hướng dẫn các bạn xác định vị trí điểm I dựa theo đẳng thức tìm được ở trên $\vec{AI}=\frac{1}{4}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}$

Lấy điểm E trên đoạn AB sao cho $\vec{AE}=\frac{1}{4}\vec{AB}$ và điểm F trên cạnh AC sao cho  $\vec{AF}=\frac{1}{2}\vec{AC}$.

Dựng hình bình hành AEIF khi đó $\vec{AI}=\vec{AE}+\vec{AF}$. Đó chính là điểm I cần tìm.

Cách 2: Ở đây ta cũng biến đổi vectơ $\vec{MP}$ theo vectơ nào đó chứa điểm cố định. Điểm cố định ở đây có thể là A, B, C, P hoặc một điểm nào đó sẽ xuất hiện trong quá trình biến đổi do ta tạo ra.

Vì P là trung điểm của CN nên ta có:

$\vec{MP}=\frac{1}{2}(\vec{MN}+\vec{MC})$

Mà $\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}$ nên suy ra

$\vec{MP}=\frac{1}{2}(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MC})=\frac{1}{2}(\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC})$

Mặt khác $\vec{MA}+\vec{MB}=2\vec{MJ}$ với J là trung điểm của AB. Do đó ta lại có:

$\vec{MP}=\frac{1}{2}(2\vec{MJ}+2\vec{MC})=\vec{MJ}+\vec{MC}=2\vec{MK}$ với K là trung điểm của CJ.

(Chú ý: ở đây A và B là 2 điểm cố định nên trung điểm J của AB cũng cố định. Vì J và C cố định nên trung điểm K của CJ cũng sẽ cố định.)

Vậy $\vec{MP}=2\vec{MK}$

Ta có kết luận: đường thẳng MP luôn đi qua điểm cố định là K khi M thay đổi.

Không phải bài toán nào chúng ta cũng có thể biến đổi như cách thứ 2 được, vì vậy mà cách 1 vẫn là cách tổng quát cho bài toán dạng này.

Qua hai cách các bạn thấy điểm cố định là I (ở cách 1) và K (ở cách 2) tuy chúng tồn tại dưới hai biểu thức vectơ khác nhau: Điểm I ở cách 1 thỏa mãn: $\vec{AI}=\frac{1}{4}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}$ và điểm K ở cách 2 là trung điểm của CJ nhưng thực chất vẫn là 1 điểm thôi nhé.

Bài tập rèn luyện:

Bài tập 1: Cho tam giác ABC, điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn:

$\vec{MN}=\vec{MA}+5\vec{MB}-\vec{MC}$

a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

b. Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Bài tập 2: Cho tứ giác lồi ABCD, điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn:

$\vec{MN}=\vec{MA}+2\vec{MB}-3\vec{MC}+4\vec{MD}$

a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

b. Gọi P là trọng tâm tam giác ABN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.