Chứng minh tam giác ABC vuông bằng phương pháp tọa độ vectơ

Chứng minh tam giác ABC vuông bằng phương pháp tọa độ vectơ

Để chứng minh tam giác ABC vuông ta sẽ có 2 cách như sau. Trước tiên ta giả sử cần chứng minh tam giác ABC vuông tại C.

Cách 1: Sử dụng tích vô hướng của 2 vectơ

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Tức là $\vec{a}.\vec{b}=0$

Vậy để tam giác ABC vuông tại C thì ta chứng minh $\vec{CA}.\vec{CB}=0$

Cách 2: Sử dụng định lý Pytago đảo.

Các bạn sẽ tính độ dài của 3 cạnh tam giác ABC là: AB, AC, BC

Sau đó các bạn xét đẳng thức: $AB^2 =AC^2+BC^2$. Nếu đúng như vậy thì tam giác ABC vuông tại C.

Bây giờ chúng ta sẽ đi xét 1 ví dụ cho dễ hiểu hơn nhé:

Bài tập 1: Cho ba điểm A(-2;3); B(5;2); C(-1;0). Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại C.

Cách 1: Sử dụng tích vô hướng của 2 vectơ

Trước tiên các bạn cần xác định được tọa độ và độ dài của các vectơ AB, vectơ AC, vectơ BC.

$\vec{CA}=(-1;3)$; $\vec{CB}=(6;2)$; $\vec{AB}=(7;-1)$

Xét $\vec{CA}.\vec{CB}=(-1).6+3.2=0$ suy ra $\vec{CA}\bot\vec{CB}$

Hay cạnh CA vuông góc với cạnh CB. Vậy tam giác ABC vuông tại C.

Cách 2: Sử dụng định lý Pytago đảo các bạn nhé

Ta có: $AB=\sqrt{7^2+(-1)^2}=\sqrt{50}$

$AC=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}$

$BC=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$

Xét: $AB^2=(\sqrt{50})^2=50$ và $BC^2+AC^2=40+10=50$

Suy ra $AB^2= BC^2+AC^2$

Theo định lý Pitago đảo thì tam giác ABC vuông tại C.

Vậy là ta có hai cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông vô cùng đơn giản và dễ hiểu phải không? Hy vọng bài viết ngẵn gọn nhưng đem lại cho các bạn kiến thức bổ ích.

Các bạn cũng có thể áp dụng phương pháp này để giải quyết những bài toán dạng như: Tìm tọa độ điểm M sao cho tam giác ABM vuông tại M chẳng hạn.