Trong quá trình làm toán dạng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy chúng ta thường chỉ quan tâm tới phương pháp tìm tọa độ điểm, tìm vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, phương pháp tìm phương trình đường thẳng dựa vào những dữ kiện đã biết…mà ít ai để ý tới điều kiện để phương trình là phương trình đường thẳng.
Tức là khi bài toán cho một phương trình giống như dạng đường thẳng nhưng chưa chắc đã là đường thẳng (có chứa tham số) thì chúng ta cần phải biết khi nào phương trình đã cho là phương trình của một đường thẳng. Điều này rất quan trọng vì chỉ khi nó là một phương trình đường thẳng thì chúng ta mới áp dụng được mọi tính chất của phương trình đường thẳng cho nó.
Điều kiện để phương trình là phương trình đường thẳng
Cho chương trình $ax+by+c=0$
Phương trình $ax+by+c=0$ là phương trình của một đường thẳng khi và chỉ khi $a^2+b^2>0$
Điều này muốn nói rằng $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$
Bạn có muốn xem: Các dạng đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phương trình: $mx+(m-2)y-m=0$ (1)
- Chứng minh rằng với mọi $m$ phương trình (1) là phương trình của một phương trình đường thẳng, gọi là họ $d_{m}$
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh phương trình đã cho là một phương trình đường thẳng với mọi giá trị của $m$ thì ta cần chứng minh $a^2+b^2>0$ với mọi giá trị của $m$.
Ta có: $a^2+b^2=m^2+(m-2)^2$
$=m^2+m^2-4m+4=2m^2-4m+4$
$=2(m^2-2m+1)+2=2(m-1)^2+2>0$ với mọi giá trị $m$.
Vậy với mọi $m$ phương trình đã cho là phương trình của một đường thẳng.
Bài 2: Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau là phương trình của một đường thẳng: $(m^2-m)x+2my-3m+1=0$
Hướng dẫn giải:
Ta có: $(m^2-m)^2+(2m)^2 =m^4-2m^3+m^2+4m^2=m^4-2m^3+5m^2=m^2(m^2-2m+5)=m^2[(m-1)^2+4]$
Để phương trình trên là phương trình đường thẳng thì:
$a^2+b^2>0\Leftrightarrow m^2[(m-1)^2+4]>0$
Ta thấy $m^2\geq 0 \forall m$ và $(m-1)^2+4>0 \forall m$ nên để $m^2[(m-1)^2+4]>0$ thì $m^2\geq 0 $ không được sảy ra dấu “=”. Do đó $m\neq 0$
Vậy với $m\neq 0$ thì phương trình trên là một phương trình của đường thẳng
Hai ví dụ này đã cho các bạn biết cách xác định một phương trình là phương trình đường thẳng. Giờ thầy muốn gửi tới các bạn thêm một bài toán cũng gần dạng với hai bài toán trên. Cùng nhau theo dõi tiếp nhé.
Xem thêm:
Cách viết phương trình đường phân giác của góc
Giải phương trình chứa căn bằng việc sử dụng phương trình đường thẳng
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi $m$ phương trình: $mx^2-m^2x+(m-1)xy+my-y^2=0$ là phương trình của hai đường thẳng.
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh một phương trình là phương trình của hai đường thẳng thì ta cần biến đổi phương trình đã cho về dạng tích của hai phương trình bậc nhất hai ẩn, dạng như sau: $(ax+by+c)(mx+ny+p)=0$. Khi đó sẽ sảy ra hai trường hợp là: $ax+by=c=0$ và $mx+n+p=0$ và chúng ta cần chứng minh hai phương trình này là phương trình của hai đường thẳng.
Vậy với bài toán trên ta cũng phải biến đổi chúng về dạng như vậy. Muốn làm được như vậy thì chúng ta cần phải làm xuất hiện nhân tử chung và đưa chúng về dạng tích:
Ta có: $mx^2-m^2x+(m-1)xy+my-y^2=0$
$\Leftrightarrow mx^2-m^2x+mxy-xy+my-y^2=0$
$\Leftrightarrow (mx^2-m^2x+mxy)-(xy-my+y^2)=0$
$\Leftrightarrow mx(x-m+y)-y(x-m+y)=0$
$\Leftrightarrow (x-m+y)(mx-y)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x+y-m=0\hspace{1cm}(1)\\mx-y=0\hspace{1.5cm}(2)\end{array}\right.$
Ta thấy:
- $x+y-m=0$ là một phương trình đường thẳng vì $a^2+b^2=1^2+1^2=2>0$
- $mx-y=0$ là một phương trình đường thẳng vì $a^2+b^2=m^2+1>0,\forall m$
Do đó (1) và (2) đều là hai phương trình đường thẳng. Vậy phương trình: $mx^2-m^2x+(m-1)xy+my-y^2=0$ là phương trình của hai đường thẳng với mọi giá trị của $m$.
Qua một số ví dụ trên chắc các bạn đã rõ điều kiện để phương trình là phương trình đường thẳng và cách làm dạng bài tập này rồi. Điều kiện để tồn tại một đường thẳng thì khá là rõ ràng, công việc của chúng ta là làm sao biến đổi nhanh, gọn để có được kết quả chính xác.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
