Đồ thị hàm số nào không có tiệm cận đứng?

Để biết được đồ thị hàm số nào có tiệm cận đứng thì các bạn kiểm tra xem mẫu có nghiệm là bao nhiêu? Từ đó xét xem nghiệm đó có trùng với nghiệm của tử hay không? và có bị triệt tiêu hết với nhân tử ở trên tử hay không?

Bài tập 1: Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận đứng?
A. $y=\dfrac{x^2-2x-3}{x-2}$ $\hspace{3cm}$ B. $y=\dfrac{x^2+4x-5}{x+5}$
C. $y=\dfrac{2}{\sqrt{x-2}}$ $\hspace{3cm}$ D. $y=\dfrac{2x+4}{x^2+4x+4}$

Hướng dẫn:

A. $y=\dfrac{x^2-2x-3}{x-2}$

Mẫu có nghiệm $x=2$. Thay $x=2$ vào đa thức trên tử ta có:

$4-2.2-3=-3 \neq 0$

Vậy $x=2$ là một tiệm cận đứng.

B. $y=\dfrac{x^2+4x-5}{x+5}$

Mẫu có 1 nghiệm là $x=-5$. Thay $x=-5$ vào tử ta được

$(-5)^2+4.(-5)-5=0$

Tử là đa thức bậc hai, mẫu là đa thức bậc 1. Vậy đồ thị không có tiệm cận đứng.

Cụ thể như sau:

$ y=\dfrac{x^2+4x-5}{x+5} = \dfrac{(x+5)(x-1)}{x+5}=x-1$

Đây là 1 hàm đa thức nên không có tiệm cận đứng. Vậy chọn đáp án B

C. $y=\dfrac{2}{\sqrt{x-2}}$

Tử là một hằng số, mẫu là đa thức có nghiệm $x=2$ => đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=2$

D. $y=\dfrac{2x+4}{x^2+4x+4}$

Đa thức $x^2+4x+4 =(x+2)^2$ có nghiệm là $x=-2$

Thay $x=-2$ lên tử ta thấy tử có giá trị bằng 0. Tới đây nhiều bạn sẽ kết luận $x=-2$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Tuy nhiên ở ý D này thì mẫu là một đa thức bậc hai $(x+2)^2$. Sau khi rút gọn 1 nhân tử thì vẫn còn một đa thức $x+2$ dưới mẫu.

Cụ thế như sau:

$y=\dfrac{2x+4}{x^2+4x+4}=\dfrac{2(x+2)}{(x+2)^2}=\dfrac{2}{x+2}$

Vậy đồ thị vẫn có 1 tiệm cận đứng là $x=-2$

Xem thêm bài giảng:

• Mẹo tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm phân thức
• Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có 1, 2, 3 tiệm cận đứng
• Bài tập trắc nghiệm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài tập 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận đứng?
A. $y=\dfrac{x+1}{x-2}$ $\hspace{3cm}$ B. $y=\dfrac{x^2+2}{x^2-4}$
C. $y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-1}$ $\hspace{3cm}$ D. $y=tan\dfrac{2x}{3}$

Hướng dẫn:

A. $y=\dfrac{x+1}{x-2}$ là hàm phân thức bậc nhất / bậc nhất nên luôn có 1 tiệm cận đứng là $x=2$

B. $y=\dfrac{x^2+2}{x^2-4}$

Mẫu là đa thức $x^2-4$ có nghiệm là $x=\pm 2$

Tử là đa thức $x^2+2 \neq 0$ với mọi x.

Vậy đồ thị có 2 tiệm cận đứng $x=\pm 2$

C. $y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-1}$

Tập xác định: $D=[2;+\infty)$

Mẫu là đa thức có 1 nghiệm $x=1$. Nhưng giá trị $x=1$ không thuộc tập xác định của hàm số. Do đó $x=1$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy chọn đáp án C

D. $y=tan\dfrac{2x}{3}=\dfrac{sin\dfrac{2x}{3}}{cos\dfrac{2x}{3}}$

Khi $cos\dfrac{2x}{3}=0$ thì $sin\dfrac{2x}{3}\neq 0$

Vậy đồ thị hàm số này luôn có tiệm cận đứng.

Bài tập 3: Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận đứng?
A. $y=\dfrac{x+2}{x-3}$ $\hspace{3cm}$ B. $y=\dfrac{x-3}{x^2-2x-5}$
C. $y=\dfrac{x+2}{x^2+x+2}$ $\hspace{3cm}$ D. $y=\dfrac{x+1}{(x-2)^2}$

Hướng dẫn:

A. $y=\dfrac{x+2}{x-3}$ là hàm số bậc nhất/bậc nhất nên đồ thị luôn có 1 tiệm cận đứng là $x=3$

B. $y=\dfrac{x-3}{x^2-2x-5}$

Đa thức trên tử có nghiệm $x=3$

Đa thức dưới mẫu: $x^2-2x-5$ có $\Delta’=6>0$ nên đa thức $x^2-2x-5$ có 2 nghiệm phân biệt. Mà $x=3$ không phải là nghiệm của mẫu nên đồ thị hàm số này có 2 tiệm cận đứng.

C. $y=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x^2+x+2}$

Đa thức $ x^2+x+2$ có $\Delta =-7<0$ nên đa thức này không có nghiệm.

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Chọn đáp án C

D. $y=\dfrac{x+1}{(x-2)^2}$ có 1 tiệm cận đứng là $x=2$