Giải phương trình hoán vị và chỉnh hợp

Bài giảng này thầy chia sẻ với các bạn một số bài tập giải phương trình hoán vị và chỉnh hợp. Đối với dạng toán như này các em cần nhớ và và hiểu cách biến đổi những công thức hoán vị, công thức chỉnh hợp…

Công thức hoán vị

$P_n=n!=1.2.3.4…n$ với $n\geq 1$

Công thức chỉnh hợp

$A^k_n=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ với $0\leq k \leq n$

Công thức tổ hợp

$C^k_n=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ với $0\leq k \leq n$

Xem thêm bài giảng:

• Giải phương trình có chứa chỉnh hợp và tổ hợp
• Cách phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp
• Bài tập về quy tắc cộng và quy tắc nhân – P1

Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên $x\in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn phương trình: $P_2.x^2-P_4.x=26$

A. 1 $\hspace{2cm}$ B.2 $\hspace{2cm}$ C. 3 $\hspace{2cm}$ D. 0

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $x\in \mathbb{N^*}$

Ta có phương trình:

$P_2.x^2-P_4.x=26$

<=> $2!.x^2-4!.x-26=0$

<=> $2x^2-24x-26=0$

<=> $x=-1$ hoặc $x=13$

Vì $x\in N^*$ nên $x=-1$ không thỏa mãn. Vậy $x=13$ là giá trị duy nhất tìm được thỏa mãn phương trình.

Vậy ta chọn đáp án: A

Câu 2: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $P_{x+1}+6.P_{x-1}=6P_x$ là:

A. 6 $\hspace{2cm}$ B. -7 $\hspace{2cm}$ C. 5 $\hspace{2cm}$ D. 0

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $x\geq 1; x\in N$

Ta có phương trình:

$P_{x+1}+6.P_{x-1}=6P_x$

<=> $(x+1)!+6.(x-1)!=6.x!$

<=> $(x-1)!x.(x+1)+6.(x-1)!=6.(x-1)!x$

<=> $x(x+1)+6=6x$

<=> $x^2-5x+6=0$ $\hspace{2cm}$ (1)

Ta có: $\Delta=1>0$ => Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là: $x_1=2; x_2=3$

Tổng hai nghiệm là: $x_1+x_2=2+3=5$. Vậy ta chọn đáp án: C

Câu 3: Tính tích của tất cả các giá trị x thỏa mãn phương trình:
$12A^{x-2}_{x+2}-P_{x+1}=3P_x$

A. -3 $\hspace{2cm}$ B. 2 $\hspace{2cm}$ C. -6 $\hspace{2cm}$ D. -1

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $x\geq 2; x \in N$

Ta có phương trình:

$12A^{x-2}_{x+2}-P_{x-1}=3P_x$

<=> $12.\dfrac{(x+2)!}{(x+2-x+2)}-(x+1)!=3x!$

<=> $\dfrac{12.(x+2)!}{4!}-(x+1)!=3x!$

<=> $\dfrac{12.x!(x+1)(x+2)}{24}-x!(x+1)=3x!$

<=> $\dfrac{(x+1)(x+2)}{2}-(x+1)=3$

<=> $x^2+3x+2-2(x+1)=6$

<=> $x^2+x-6=0$

<=> $x=2$ hoặc $x=-3$

Do điều kiện xác định là: $x\geq 2$ nên $x=-3$ bị loại nên chỉ còn x=2 thỏa mãn phương trình.

Vậy tích của tất cả các giá trị x thỏa mãn phương trình bằng 2. Chọn đáp án B

Câu 4: Giải phươn trình sau: $A^2_n.P_n-24A^2_n-2P_n+48=0$

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $n\geq 2; n\in N$

Với phương trình này thì chúng ta sẽ không phân tích $A^2_n; P_n$ theo công thức hoán vị và chỉnh hợp ngay từ đầu như 3 bài toán ở trên. Để ý bài toán này thì chúng ta thấy có thể đưa phương trình này về phương trình tích bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Ta có: $A^2_n.P_n-24A^2_n-2P_n+48=0$

<=> $A^2_n(P_n-24)-2(P_n-24)=0$

<=> $(P_n-24)(A^2_n-2)=0$

<=> $\left[\begin{array}{ll}P_n=24\\A^2_n=2\end{array}\right.$

<=> $\left[\begin{array}{ll}n!=24\\\dfrac{n!}{(n-2)!}=2\end{array}\right.$

<=> $\left[\begin{array}{ll}n=4\\\dfrac{(n-2)!(n-1).n}{(n-2)!}=2\end{array}\right.$

<=> $\left[\begin{array}{ll}n=4\\(n-1).n=2\end{array}\right.$

<=> $\left[\begin{array}{ll}n=4\\n^2-n-2=0\end{array}\right.$

<=> $\left[\begin{array}{ll}n=4\\n=-1\\n=2\end{array}\right.$ ( loại )

<=> $\left[\begin{array}{ll}n=4\\n=2\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là: $S=\left\{2;4\right\}$

Trên đây là một số bài tập giải phương trình có chứa hoán vị và chỉnh hợp. Các bạn hãy cùng chia sẻ bài tập và phương pháp giải những dạng toán này dưới khung bình luận nhé. Và đừng quên cho biết ý kiến của mình về bài viết trên.