Giải phương trình tổ hợp và chỉnh hợp

Để giải phương trình tổ hợp và chỉnh hợp thì trước tiên các bạn cần nhớ được công thức tính chỉnh hợp và công thức tính tổ hợp. Bên cạnh đó phải chú ý tới điều kiện để tồn tại chỉnh hợp và tổ hợp.

Công thức hoán vị

$P_n=n!=1.2.3.4…n$ với $n\geq 1$

Công thức chỉnh hợp

$A^k_n=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ với $0\leq k \leq n$

Công thức tổ hợp

$C^k_n=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ với $0\leq k \leq n$

Xem thêm bài giảng:

Sau đây chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu một vài ví dụ về giải các phương trình tổ hợp và chỉnh hợp.

Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn: $A^3_n+5A^2_n=2(n+15)$

A. 0 $\hspace{2cm}$ B. 1 $\hspace{2cm}$ C. 2 $\hspace{2cm}$ D. 3

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $n\geq 3, n\in \mathbb{N}$

Ta có phương trình:

$\dfrac{n!}{(n-3)!}+5.\dfrac{n!}{(n-2)!}=2n+30$

<=> $\dfrac{(n-3)!(n-2)(n-1)n}{(n-3)!}+\dfrac{5(n-2)!(n-1)n}{(n-20!}-2n-30=0$

<=> $(n-2)(n-1)n+5(n-1)n-2n-30=0$

<=> $n^3-3n^2+2n+5n^2-7n-30=0$

<=> $n^3+2n^2-5n-30=0$

<=> $n=3$

Chỉ có duy nhất một giá trị của n. Vậy ta chọn đáp án B

Câu 2: Cho số tự nhiên n thỏa mãn: $A^{10}_n+A^9_n=9A^8_n$. Mệnh đề nào sau đây đúng:

A. n là số nguyên tố $\hspace{2cm}$ B. n là số chẵn
C. n là hợp số $\hspace{3cm}$ D. n là số chính phương

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $n\geq 10; n\in \mathbb{N}$

Ta có phương trình:

$\dfrac{n!}{(n-10)!}+\dfrac{n!}{(n-9)!}= 9.\dfrac{n!}{(n-8)!}$

$\dfrac{1}{(n-10)!}+\dfrac{1}{(n-9)!}= 9.\dfrac{1}{(n-8)!}$

$\dfrac{1}{(n-10)!}+\dfrac{1}{(n-10)!(n-9)}= 9.\dfrac{1}{(n-10)!(n-9)(n-8)}$

<=> $\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{n-9}=\dfrac{1}{(n-9)(n-8)}$

<=> $(n-9)(n-8)+n-8=9$

<=> $n^2-16n+55=0$

<=> $\left[\begin{array}{ll}n=5 (loại)\\n=11 (thỏa mãn) \end{array}\right.$

Ta thấy giá trị $n=11$ là một số nguyên tố. Vậy chọn đáp án A

Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn phương trình: $A^3_n-2C^4_n=3A^2_n$

A. 0 $\hspace{2cm}$ B. 1 $\hspace{2cm}$ C. 2 $\hspace{2cm}$ D. 3

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $n\geq 4; n\in \mathbb{N}$

Ta có phương trình:

$\dfrac{n!}{(n-3)!}-2.\dfrac{n!}{4!(n-4)!}= 3.\dfrac{n!}{(n-2)!}$

<=>$\dfrac{(n-3)!(n-2)(n-1)n}{(n-3)!}-\dfrac{2(n-4)!(n-3)(n-2)(n-1)n}{24(n-4)!}= \dfrac{3(n-2)!(n-1)n}{(n-2)!}$

<=> $(n-2)(n-1)n-\dfrac{(n-3)(n-2)(n-1)n}{12}= 3(n-1)n$

<=> $n-2-\dfrac{(n-3)(n-2)}{12}= 3$

<=> $12n-24-n^2+5n-6=36$

<=> $n^2-17n+66=0$

<=> $\left[\begin{array}{ll}n=6\\n=11 \end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Có 2 giá trị của n thỏa mãn điều kiện. Vậy ta chọn đáp án C

Bài giảng trên thầy đã gửi tới các bạn một vài ví dụ về giải các phương trình tổ hợp và chỉnh hợp. Tuy chỉ với 3 ví dụ nhưng các bạn đã có phương pháp để giải những bài toán dạng phương trình như này. Thầy sẽ tiếp tục gửi tới các bạn những phương trình về tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị nữa. Hãy theo dõi blog của thầy nhé.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!