Giới hạn hàm số dạng không trên không – 0/0

Trong quá trình đi tìm giới hạn của hàm số chúng ta gặp rất nhiều dạng toán, mỗi dạng toán lại có những cách giải khác nhau. Trong bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn chúng ta đi tìm giới hạn hàm số dạng vô định mà cụ thể là giới hạn hàm số dạng không trên không – dạng $\frac{0}{0}$.

Dạng $\frac{0}{0}$ là dạng như thế nào? Giả sử khi $x\to a$, các bạn thay giá trị $x=a$ vào biểu thức trên tử và dưới mẫu. Khi đó tử thức và mẫu thức đều bằng 0, đó chính là dạng 0/0. Với dạng toán như này chúng ta không thể tính giới hạn một cách trực tiếp được mà phải biến đổi một chút.

Với dạng toán này thầy sẽ hướng dẫn các bạn 2 trường hợp cơ bản nhất, đó là:

Giới hạn hàm số dạng không trên không

Trường hợp hàm số $y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}$ là hàm hữu tỷ

Phương pháp giải cho trường hợp này là ta làm thế nào đó để xuất hiện nhân tử chung. Thông thường chúng ta sẽ phân tích các đa thức thành nhân tử sau đó triệt tiêu nhân tử để làm mất dạng vô định và đưa hàm số về dạng xác định.

Trong trường hợp này nếu $x\to a$ thì ta biết chắc chắn nhân tử sẽ là $x-a$, do đó ta chỉ việc chia đa thức ở tử và mẫu cho nhân tử $x-a$ là tìm được lời giải cho bài toán.

Ta có: Giới hạn hàm số $y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}$ khi $x \rightarrow a$ có dạng $\frac{0}{0}$ thì ta sẽ phân tích như sau:

$y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}} = \frac{(x-a).p_{(x)}}{(x-a).q_{(x)}} =\frac{p_{(x)}}{q_{(x)}}$

Chia đa thức $f_{(x)}$ và $g_{(x)}$ cho nhân tử $x-a$ thì được đa thức $p_{(x)}$ và $q_{(x)}$

Lúc này giới hạn của hàm số ban đầu chính là giới hạn của hàm số $\frac{p_{(x)}}{q_{(x)}}$. Việc tính giới hạn này khá đơn giản vì nó là giới hạn xác định.

Bạn có muốn xem bài giảng: Phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp

Trường hợp hàm số $y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}$ là hàm vô tỷ

Với dạng này thông thường ta dùng biểu thức liên hợp để có thể làm xuất  hiện nhân tử chung.

Một số dạng có biểu thức liên hợp là:

$\sqrt{a} – b$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt{a} + b$ và ngược lại

$\sqrt{a} – \sqrt{b}$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ và ngược lại

$\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$ và ngược lại

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt[3]{a^2} – \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$ và ngược lại

$\sqrt[3]{a} + b$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt[3]{a^2} – \sqrt[3]{a}.b+ b^2$ và ngược lại

$\sqrt[3]{a} – b$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}.b+ b^2$ và ngược lại

Bài giảng nên xem: Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Bài tập giới hạn hàm số dạng không trên không – $\frac{0}{0}$

Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a. $\lim \limits_{x\to 1} \frac{x^5-1}{x-1}$

b. $\lim \limits_{x\to -3} \frac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2-9}$

Hướng dẫn giải

a. Khi $x \to 1$ thì hàm số thuộc dạng 0/0 (các bạn thay x=1 vào biểu thức trên tử và dưới mẫu). Đây lại là hàm số hữu tỉ do đó ta nghĩ ngay tới việc biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung là $x-1$. Ta có:

$\lim \limits_{x\to 1} \frac{x^5-1}{x-1} = \lim \limits_{x\to 1} \frac{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}{x-1}$

$= \lim \limits_{x\to 1} (x^4+x^3+x^2+x+1)$

$= 1^4+1^3+1^2+1+1 = 5$

Vậy $\lim \limits_{x\to 1} \frac{x^5-1}{x-1}=5$

 

b. Khi $x \to -3$ thì hàm số thuộc dạng $\frac{0}{0}$. Đây cũng là hàm số hữu tỉ do đó ta nghĩ ngay tới việc biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung là $x+3$. Ta có:

$\lim \limits_{x\to -3} \frac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2-9} =\lim \limits_{x\to -3} \frac{(x+3)(x^2+2x-3)}{(x+3)(x-3)}$

 $=\lim \limits_{x\to -3} \frac{x^2+2x-3}{x-3}$

 $=\frac{9-6-3}{-6}$

 $=0$

Vậy $\lim \limits_{x\to -3} \frac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2-9}=0$

Bài giảng hay về lượng giác: Hướng dẫn sử dụng đường tròn lượng giác – cách nhớ công thức, tính nghiệm

 

Bài 2: Tìm giới hạn của hàm số sau:

a. $\lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}$

b. $\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{(3x-1)}-2}{\sqrt{x}-1}$

Hướng dẫn giải

a. Các bạn thấy ý a này cũng thuộc giới hạn hàm số dạng 0/0 và hàm số có chứa căn thức. Ta sẽ nhân với biểu thức liên hợp của $\sqrt{x}-\sqrt{a}$ là $\sqrt{x}+\sqrt{a}$.

Ta có:

$\lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \lim \limits_{x\to a} \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})} = \lim \limits_{x\to a} \frac{x-a}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\lim \limits_{x\to a} \frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{a})} =\frac{1}{2\sqrt{a}}$

Tuy nhiên với bài toán này ta không nhất thiết phải nhân biểu thức liên hợp vì ta có thể phân tích biểu thức $x-a=(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a})$

Ta có:

$\lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a})} =\lim \limits_{x\to a} \frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})} =\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{a})} =\frac{1}{2\sqrt{a}}$

 

Vậy $\lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}$

 

b. $\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{3x-1}-2}{\sqrt{x}-1}$

Với bài toán này ta cần làm mất đi biểu thức làm cho mẫu bằng 0. Nếu ta chỉ nhân liên hợp với biểu thức dưới mẫu thì bài toán có giải quyết được không? ta thử xem nhé:

$\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt{x}-1}= \lim \limits_{x\to 1} \frac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim \limits_{x\to 1} \frac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{x}+1)}{x-1}$

Tới đây bài toán vẫn còn dạng 0/0 do đó ta chưa thể tình giới hạn này được. Vì vậy ta cần phải liên hợp một lần nữa biểu thức trên tử, tức là liên hợp của biểu thức $\sqrt{3x+1}-2$. Bài toán sẽ được trình bày lại như sau:

$\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt{x}-1}$

$= \lim \limits_{x\to 1} \frac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{3x+1}+2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt{3x+1}+2)}$

$=\lim \limits_{x\to 1} \frac{(3x+1-4)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}$

$= \lim \limits_{x\to 1} \frac{3(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}$

$ =\lim \limits_{x\to 1} \frac{3(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{3x+1}+2}$

$ = \frac{3.2}{2+2} =\frac{3}{2}$

Vậy $\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt{x}-1} =\frac{3}{2}$

Bạn có thể áp dụng cách giải dạng 0/0 này bằng một cách giải khác, đó là sử dụng quy tắc L’Hopital. Nếu bạn quan tâm tới quy tắc L’Hopital thì xem bài giảng này tại link sau: Tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc L’Hopital

Với hai bài tập cơ bản như trên các bạn đã hiểu rõ về giới hạn hàm số dạng không trên không – $\frac{0}{0}$ chưa? Thầy đã cô gắng phân tích và hướng dẫn lời giải sao cho thật chi tiết để bất kì bạn nào xem được bài giảng cũng sẽ hiểu và làm được dạng toán này. Nếu có bài tập hay vấn đề gì mà các bạn chưa rõ thì cứ gõ vào phần bình luận nhé, thầy sẽ cố gắng giải đáp giúp các bạn.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

297 Thảo luận

  1. thu viết:

    ( 2^x – x^2)/ (x-2) khi x=>2

    Thầy chỉ cho em cách giải với ạ

  2. Phạm Anh Khoa viết:

    (2^sinx – (1+x)^1/2)/ln(1+x) khi x=>0

    Thày giải hộ em với

  3. trọng viết:

    Cho em tài liệu tham khảo khử dạng vô định của hàm số có dạng lượng giác

  4. trần thị liên viết:

    thay giai ho em bai nay voi

    (((1+x)^1/x) : e)^1/x khi x->0

    • Bài này em sử dụng logarit cơ số e.
      $\lim \limits_{x\to 0}{(\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e})^{\frac{1}{x}}}$
      $=\lim \limits_{x\to 0}{e^{\frac{1}{x}.ln\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}}}$

      Tới đây thì biến đổi tiếp dễ hơn rồi

  5. ngọc ánh viết:

    lim    (x^4-x^2-72)/(x^2-2x-3)

    x->3

  6. Thao nguyen viết:

    Thầy giúp e câu này vs

    Lim(sin căn(x+1)  – sin căn x )

    x->+vô cùng

    • B1: Em sử dụng công thức $sina-sinb=2cos{\frac{(a+b)}{2}}.sin{\frac{(a-b)}{2}}$
      với $a=\sqrt{x+1}, b=\sqrt{x}$
      B2: Nhân liên hợp 2 biểu thức căn xuất hiện trong sin và cos tính ở B1: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ và $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$
      B3: Biến đổi tiếp để áp dụng $\lim \limits_{x\to 0}{\frac{sinx}{x}}=1$

  7. Minh viết:

    Thầy cho thêm dạng không trên không có căn bậc 3 đi thầy

  8. trịnh minh hưng viết:

    thầy ơi cho e hỏi với vì sao

    x5−1 thành (x−1)(

    x4+x3+x2+x+1) vậy a

    x5−1

  9. Tuyet Mai viết:

    giúp em ạ lim((1-x)^5-(1+5x))/(x^5+x^2)

     

  10. Như viết:

    Giúp em bài này ạ

    ((Căn3 (x-9)+căn2 (x-2))/x-1khi x→1

     

  11. TN viết:

    Thầy giải giúp em câu này ạ

    Lim (căn 2(x+1)-căn 3(x+1).căn 2(2x+1))/x khi x=>0

  12. tùng mai viết:

    Thầy chỉ e với ạ:

    lim (e^x-cosx)/x khi x->0

    tks thầy nhiều ạ

    • anh viết:

      Bạn thêm và bớt 1 vào nhé. $\frac{e^x-1+1-cosx}{x}=\frac{e^x-1}{x}+\frac{1-cosx}{x}$

      cái này thì tính dễ rồi $\frac{e^x-1}{x}$ =1

      $1-cosx=2sin^2{\frac{x}{2}}$. Bạn nhân thêm tử và mẫu thêm x để dưới mẫu xuất hiện x^2 sao đó áp dụng $lim\frac{sinx}{x}=1$ khi x->0

  13. Lephuong viết:

    Sao em ko thâỳ ko post bài dạng có hàm số ạ

  14. mai viết:

    thầy giải giúp e bài này voi ạ, bạn nào biết giải giup minh nhe

    lim (((can bac hai(x+2) * can bac ba(3x +2))-2x)/(x-2)) khi x->2

  15. Quy viết:

    Lim(x->1) của e^(1-x) + x -2 tất cả chi cho x-1. giải cái này thì đặt 1-x=t đúng không ạ? E đang ôn để thi vb2, lâu không động đến nên không nhớ lắm mong thầy giải giúp với ạ bài đầy đủ đây: 

  16. Tuân Văn Cao viết:

    Cảm ơn thầy giáo

  17. ngọc viết:

    Thầy giải hộ e bài này vs ạ

    Lim((x+1)*(2x+1)*(3x+1)-1)/x

    x->0

  18. Thành viết:

    Thầy giải giúp em bài này nhé.

    lim([căn bậc 3 (x)] -[căn bậc 2 (2-x)])/(x^2 – 2x +1) khi x dần tới 1

    • Em biến đổi như sau:
      $\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt{2-x}}{(x-1)^2}=\frac{\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt{2-x}}{x-1}}{x-1}=\frac{\frac{(\sqrt[3]{x}-1)+(1-\sqrt{2-x})}{x-1}}{x-1}$

      $=\frac{\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}+\frac{1-\sqrt{2-x}}{x-1}}{x-1}$

      $=\frac{\frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}{(x-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}+\frac{x-1}{(x-1)(1+\sqrt{2-x})}}{x-1}$

      $=\frac{\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}+\frac{x-1}{(x-1)(1+\sqrt{2-x})}}{x-1}$

      $=\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}+\frac{1}{1+\sqrt{2-x}}}{x-1}$

      Tới đây tính giới hạn được rồi

    • Thành viết:

      Thầy giải chi tiết giúp em. Phép biến đổi trên, ở dòng 3 em không hiểu vì đang là căn bậc 3 sao lại thành căn bậc 2?

  19. Long viết:

    Thầy giải giúp em biểu thức này : lim(  (căn(6x-11)-căn 3(9x-17))/(x^3-3x^2+4)  ) khi x tiến tới 2

     

  20. phanthithanhnhan viết:

    thầy giải giúp em bài này với ah em giải hoài mà không ra hichic

    lim(tan)mũ(pi/2-x)khi x tiến tới bên trái( pi /2  ) -1

  21. Nhi viết:

    Thầy giai giúp em bài này với

    a. Lim 1/x *(1/(x+1)-1) khi x tiến tới 0-

    b. Lim (x^2 -3x +2)/(căn 2 của (2-x) khi x tiến tới 2-

     

  22. Hải Minh viết:

    thầy ơi giải giúp em bài này với

    tìm lim [căn bậc 3(x-2) – 5*căn(x+1) +x^2]/(x-3) khi x tiến đến 3

    em cám ơn thầy ạ

     

  23. Thành viết:

    em cảm ơn thầy. Em xử lý được rồi.

     

  24. Huan viết:

    có bài nào thuộc dang 0/0 mà có tích của 3 căn bất kì không giống nhau . ví dụ như căn 2 nhân căn 3 nhân căn 4 cộng với một lượng nào rồi chia cho 1 biểu thức. giúp em với ạ

  25. Hung viết:

    Cho em hỏi bài này

    Lim(5/(1-x^5) – 2016/(1-x^2016)) khi x đến 1

     

    • Em thêm bớt như sau:
      $\frac{5}{1-x^5}-\frac{2016}{1-x^{2016}}=(\frac{5}{1-x^5}-\frac{1}{1-x})-(\frac{2016}{1-x^{2016}}-\frac{1}{1-x})=A-B$

      Tới đây em quy đồng và tính riêng từng biểu thức A và B, để đưa về dạng 0/0. Đặt nhân tử chung trên tử là (1-x).

      • Hung viết:

        Thầy có thể giải rõ thêm chút nữa cho em được không ạ. Em vẫn không biết cách quy đồng

         

        • Biến đổi: $1-x^5=(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4)$

          $(\frac{5}{1-x^5}-\frac{1}{1-x})=\frac{5-(1+x+x^2+x^3+x^4)}{1-x^5}$

          $=\frac{4-x-x^2-x^3-x^4}{1-x^5}$

          $=\frac{(1-x)+(1-x^2)+(1-x^3)+(1-x^4)}{1-x^5}$

          $\frac{(1-x)[1+(1+x)+(1+x+x^2)+(1+x+x^2+x^3)]}{(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4)}$

          Biểu thức còn lại tương tự

  26. Hung viết:

    Cho e hỏi tiếp

    Căn bậc 3 của(x^3 + x^2) trừ cho căn của ( x^2 +1)

     

     

  27. y bình viết:

    cảm ơn thầy rất hay

  28. Phương Thảo viết:

    lim((căn bậc 3 của (2-n^3) + n)/(căn bậc 2 của (n^2+1)-n))

    thầy ơi hướng dẫn giúp em bài này ạh

  29. An viết:

    (1 – cos2x)/(5(pi-x)) khi x tiến tới pi ạ thầy tính giúp em

  30. Nhon viết:

    lim -x^3+7x^2-14x+6/9-x^2 khi x tien toi 3 thi lam sao thay chi em voi

  31. Hiếu viết:

    Thầy giáo ơi

     

  32. Hiếu viết:

    X^3-3x^2+4x-2/x-1 khi x tiến tới 1. Giáo viên dạy e nói là kết qua bằng -3/2 mà e k biết làm thế nào để ra nữa ạ

  33. Mạnh viết:

    thầy giúp em bài này với:

    Lim  x+1/(x-2)^2    x->2

    Em cảm ơn thầy

  34. phuong su viết:

    thay giang cho em bai ne vs lim (can bac 3cua x^3+3x^2-can bac 2cuax^2-2x)kh x->=vô cùng

     

  35. phuong su viết:

    doi 14 tieng ma chang tháy thay tra loi thay ban a

     

    • Em thêm biểu thức căn bậc 3 với -x, biểu thức căn bậc 2 với x, sau đó nhân liên hợp từng biểu thức 1.
      Biểu thức đầu tiên trên tử sẽ còn $3x^2$, dưới mẫu làm xuất hiện nhân tử chung là $x^2$ để rút gọn với tử
      Biểu thức thứ 2 trên tử sẽ còn 2x, dưới mẫu làm xuất hiện nhân tử chung là $x$ để rút gọn với tử.

      Xin lỗi các em vì thời gian này thầy đang bận nên không thể trả lời hết các câu hỏi của các em, 1 ngày thầy nhận rất nhiều câu hỏi. Có thời gian thì thầy cũng chỉ trả lời đc phần nào.

  36. hồng ngọc viết:

    thầy ơi giúp em với:

    tìm giới hạn:

    lim ((căn bậc ba của 1+x)-(căn bậc hai của 1+x))/x  khi x dần đến 0

  37. minh yến viết:

    thầy tính giúp e vs 

    lim (e^(2x)- 1 – 2x)/x^2) khi x dần tới 0

  38. tructruong viết:

    thầy giúp e với ạ :

    lim 1-cot^3x /2-cotx-cot^3 x          (khi x –> bi/4)

  39. Tú Hoàng viết:

    Lim(a + 2/a) khi a -> 0

    Thầy tính e với

  40. Mạnh viết:

    Thưa thầy,

    Em có gặp bài toán như sau và chưa biết cách giải.

    Nhờ thầy hướng dẫn giúp em với ạ.

    lim x->1 của: x^3-2x+1/x^2+2x

    Em cảm ơn thầy nhiều ạ!

     

  41. Thảo viết:

    Thầy Giáo Nghèo thật là tốt bụng ^^

    Chân thành cảm ơn thầy thật nhiều vì đã bớt chút thời gian quý báu của thầy mà hướng dẫn tận tình, chu đáo.

  42. Học sinh viết:

    Chào thầy. Thầy có thể giúp em câu này được không?
    Lim x->0  (Cos 4x – căn của 1 – sin 3x)/x
    E cảm ơn thầy 🙂

    • B1: em nhân liên hợp
      b2: biến đổi $cos^2{4x}=1-sin^2{4x}$ sau đó tiệt tiêu hết sô 1
      b3: tách thành 2 phân thức
      – phân thức 1: chứa $\frac{sin^2{4x}}{x.A(X)}$
      – phân thức 2: chứa $\frac{sin{3x}}{x.A(X)}$
      thêm bớt làm xuất hiện dạng $\frac{sinx}{x}$ là tính đc.

  43. Tuyết viết:

    Thay oi giup e voi….  lim( 4- 4÷x^2) khi x ve 0

  44. Tuyết viết:

    Voi lai th cho e hoi la e khao sat ham so có cach nao nhjn zo la pit lim ra may khoi can phan tich dc k th

  45. Hùng viết:

    Lim {(x^2 + 2001)×[√ bậc 7 của (1-2x)] – 2001}÷x khi x–>0
    Thầy giảng giúp em bày này vs ạ
    E xin cám ơn thầy!

    • EM biến đổi: $\frac{(x^2+2001)\sqrt[7]{1-2x}-2001}{x}= \frac{x^2.\sqrt[7]{1-2x}+2001.\sqrt[7]{1-2x}-2001}{x}$
      $=x.\sqrt[7]{1-2x}+\frac{2001.(\sqrt[7]{1-2x}-1)}{x}$
      Biểu thức đầu tính đc rồi
      Biểu thức thứ 2 đặt $\sqrt[7]{1-2x}=t$ =>$x=\frac{1-t^7}{2}$ đổi cận cho biến t, thay vào là tính đc

  46. tuyến viết:

    cho em hỏi cách làm 2 bài này ạ!
    – Tìm lim (x^m – a) / (x^n – a) khi x -> a. Em xin kết quả cuối cùng vì em biến đổi sau khi đặt x-a chung không biết biến đổi sao nữa.
    – lim [(3*x^2 – x +1)/ (3* x^2 + x – 1)]^[x^2/(1+x)] khi x -> vô cùng

  47. Cường viết:

    Thầy giúp em với ạ
    Lim (ln x – 1)/( x – e) với x -> e, dạng 0/0 thầy ạ

  48. xuân oanh viết:

    Thầy giúp em ạ. chứng minh lim ((sin5x)/x) khi x đến vô cùng

  49. Thai viết:

    Thầy ơi giúp e mấy câu này với ạ:
    1. Lim(xsinbi/3) khi x đến vô cùg.
    2. Lim[(3tan(sinx)+2sin(tanx))/(x+tanx)] khi x đến 0.
    3. Lim[(1-cosx.căn(cos2x))/x^2].

  50. NGỌC TÀI viết:

    Giai giup e bai lim((x^3*canbac2cuax +x^2+1)/(2x^3*canx -x^2 +2))

  51. NGỌC TÀI viết:

    Giai giup e bai lim((x^3*canbac2cuax +x^2+1)/(2x^3*canx -x^2 +2)) khi x=»vo cung

  52. Kieuoanh viết:

    Giúp e bài này: lim ((x mũ 2016-1)/x-1) khi x=> 1.. cảm ơn thầy trước ạ

  53. phuthinh viết:

    thầy giúp em với

  54. phuthinh viết:

    thay giup em voi ạ lim(x^2-x-2)^20/(x^3-12x+16)^10 khi x->2

  55. huy tú viết:

    e nhờ thầy chỉ e với ạ
    lim┬(x→0)⁡〖(e^3x-1)/(〖2x〗^2+6x)〗

  56. Đăng viết:

    Thầy giải giúp em bài này với
    tử: trị tuyệt đối của (x^2 + 2x – 3)
    mẫu: x^2 – 1
    khi x –> 1-

  57. seryna degel viết:

    thầy có tài liệu về toán cao cấp không ạ T.T

  58. Hà viết:

    thầy ơi giúp e tính lim((3^x)-(2^x))/((4^x)-(3^x)) khi x dần tới 0

  59. Hung viết:

    Thầy giúp em bài này với a tính giới hạn x->0 của x^2.cos(1/x). Em cảm ơn thầy

  60. Quí viết:

    Giúp e với.cosx/căn bậc3 (1-sinx)2 khi x tiến tới π\2 ạ

  61. Kaka Hai viết:

    lim( tanx-x):(sinx-x) khi xdan toi 0

  62. Nguyễn Thị Mai viết:

    limx.(e^x- e^(-x))/(ln(e-x)+x-1) với x->0 . thầy giúp e với ạ!

  63. Thảo viết:

    Thầy ơi chỉ em câu này với ạ
    Lim(x^2×sin(1/x)) khi x->0

  64. nhung viết:

    thầy ơi.thầy giúp e bài này với ạ
    lim Xdần đến 0. 3 mũ X2 trừ 2 mũ X2 tất cả trên LN cos2x

  65. Lê Thị Thi viết:

    lim x>1 của căn3 của 7+x^3 – căn 2 của 3+x^2/ x-1
    chưa căn bậc 3 e k biết làm sao hết th ạ.. giup e

  66. ny viết:

    Thầy ơi giải giúp em bài này với Lim(căn3(1+x/3)-căn4(1+x/4))/(1-căn 2(1-x/2)) x->0

  67. mien viết:

    lim(1-cosx) nhân tan2x khi x->0

  68. mien viết:

    giúp e bài này vs thầy….lim(1-cosx) nhân tan2x khi x->0

  69. trangtran viết:

    thầy giúp e câu này với
    lim ((e^(3x)+tan(x))^1/x) khi x -> 0

  70. Thu Vân viết:

    thầy giúp e bai này vs ạ
    limx->3 căn bậc hai của ((căn x trừ căn 3)/(x^4 trừ 81))

  71. Bùi vũ viết:

    Thầy xem cách giải hộ em với
    Lim ((x mũ 1/n trừ 1) trên (x mũ 1/m trừ 1))
    x->1

  72. Nam viết:

    Thầy ơi , thầy làm giúp em bài này với ạ : lim x => 4 của ( x^2-5x+4).ln(x-4)

    • Bài này thuộc dạng 0.vocùng, ta đưa về dạng vô cùng/ vô cùng
      $( x^2-5x+4).ln(x-4) =\frac{ln(x-4)}{\frac{1}{x^2-5x+4}}$
      tới đây em sử dụng quy tắc LHopital để tính sẽ được $\frac{x^2-5x+4}{2x-5}=\frac{x-1}{2x-5}$
      Và kết quả là 1

  73. Thành Đạt viết:

    Thầy giúp em giải bài này ạ
    lim x–>0 (e^2x-e^-2x)/sin2x

  74. Phúc viết:

    thầy giúp em câu này với : Limx->1 (lnx+1-x)/(x-x^x)

  75. oanh viết:

    thầy ơi khi ta tách giới hạn thành 2 giới hạn trong đó 1 giới hạn hữu hạn còn giới hạn còn lại ta có được phép sử dụng vô cùng bé không ạ

  76. ha viết:

    Thầy giải giúp em bài này nha: Lim(4x^3-5x^2+8x)^7x^2 khi x tiến về 0. Em cảm ơn

  77. Nhung viết:

    Thầy giải giúp em bài này nha: Lim(4x^3-5x^2+8x)^7x^2 khi x tiến về 0. Em cảm ơn

  78. trung viết:

    giúp em với lim(x>+vocung) ((2/pi)*arctanx)^3x+1

  79. tinh viết:

    giải giup e với thây ơi lim x^x -1/xlnx khi x đến 1

  80. tuân viết:

    Thầy giúp em bài này
    Lim (ln 1+10xnhânsinx)/(sin^2 3x) khi x tiến về 0

  81. viết:

    thầy giúp em cái này với lim1/x^2 khi x tiến tới 0 , lim( 1/x^2 )/(1/x^4) khi x tiến tới 0 . em cảm ơn thầy ạ

  82. Phạm Đaeng Tuân viết:

    Thầy giải giúp em bài ni với ạ : lim x->0 x/ken(x^2) . Em cảm ơn

  83. Tranhana viết:

    Thầy ơi giúp e : lim 1[ (căn 2 của x+3) -2]

  84. mon viết:

    lim x->1 (X^3 + 4X^2 + X – 6)^10/(X^3 – 2X^2 – X + 2)^20
    bài này làm theo cách nào vậy thầy.?

  85. long viết:

    thầy giúp e vs : tìm lim (x^100-2x+1)/(x^50-2x+1)khi x->1

  86. Thu Hương viết:

    thầy ơi giúp em : [ căn ( x+7) – căn( 4x+1)] / [ căn ( 6-x) – căn ( 3x-2 ) ]

  87. ớt anh viết:

    thầy ơi, thế còn dạng thêm bớt 1 biểu thức thì sao ạ, làm sao để tìm ra biểu thức đó ạ? ví dụ như
    lim((căn 1+4x)+căn(1+6x))/x^2 khi x tiến đến 0 ạ

    • Bài toán của em có phải dạng 0/0 đâu em, bài này tính bình thường mà. Nếu dấu + được thay bằng dấu – giữa 2 biểu thức căn thì có dạng 0/0.
      Khi đó em thay cận vào từng căn bậc 2. đc kết quả bao nhiêu thì thêm bớt với chính lượng đó.
      Giả sử thay x=0 vào $\sqrt{1+4x}=1$, $\sqrt{1+6x}=1$ thì thêm bớt 1 nhé

  88. kiên sò viết:

    thầy giúp em bài này với ạ
    (căn bậc ba của(1+2x) – cos căn bậc 2 của x) tất cả trên x
    khi x -> 0+
    cảm ơn thầy

  89. viết:

    Thầy giúp em với ạ:
    Limx–>1 (X-1)/(căn (x^2+3) + x^3 – 3x)

  90. dương viết:

    nhưng tại sao lại đc kết quả là m/n vậy thầy

  91. hương viết:

    Thầy hộ e với
    (³√(4x-2)) /(x-2)
    x->2

    • Bài toán của em để có dạng 0/0 thì phải là: $lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}$
      Em áp dụng hằng đẳng thức $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
      Em nhân thêm 1 lượng $(a^2+ab+b^2)$ này nữa nhé, sẽ khử đc x-2

  92. lantrang viết:

    e chào thầy.thầy giúp e bài này với ạ
    lim x->1 [(căn bậc 4 của x)-1] / x^3+x^2-2

  93. Thu viết:

    Em chào thầy, thầy ơi, thầy giúp em mấy câu này với ạ
    a) lim (x->1) (sqrt(2x+7)+x-4)/(x^2-4x+3)
    b) lim (x->0) (sqrt(x+1) + sqrt(x+4) – 3)/x
    c) lim (x->-2) (căn bậc 3(x-6) + 2)/( x^2-4)
    d) lim (x->8) (x-8)/(căn bậc 3 của x – 2)
    e) lim (x->2) (căn bậc 3(8x+11) – sqrt(x+7))/(x^2-3x+2)

  94. qu qu viết:

    Thầy giải giúp em bài này với ạ.
    Lim (căn(1+2x)- căn(1+3x))/x^2

  95. van anh viết:

    lim (1/1*3+1/3*5+…+1/(2n-1)(2n+1))
    thay giup em bai nay voi a

    • Em đặt A=1/1*3+1/3*5+…
      => $\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
      => $\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$
      => $\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}(\frac{2n}{2n+1})$
      Tới đây thì tính đc rồi

  96. lantrang viết:

    em làm phiền thầy thêm 1 câu nữa ạ lim x->+- vô cùng
    căn của (x^2-2x+4) -x
    thầy để ý giúp em là cộng trừ vô cùng ạ.e cảm ơn thầy

  97. qu qu viết:

    Thầy giúp em với ạ.
    lim (căn(1+2x)- căn(1+3x))/x^2

  98. qu qu viết:

    lim (căn(1+2x)- căn(1+3x))/x^2
    khi x->1

  99. Phương viết:

    {[căn bậc 2016 của(1+10x)][căn bậc 2017 của(1+100x)]-1}/x
    lĩm x->0
    giúp em với ạ!!!

    • Em thêm bớt trên tử như sau:
      $\sqrt[2016]{1+10x}.\sqrt[2016]{1+10x}+\sqrt[2016]{1+10x}-\sqrt[2016]{1+10x}-1=\sqrt[2016]{1+10x}.(\sqrt[2017]{1+100x}-1)+(\sqrt[2016]{1+10x}-1)$
      tới đây em tách thành 2 phân thức và nhân liên hợp từng phân thức nhé

  100. Phương viết:

    (x+x^2+x^3+…+x^n -n)/(x-1)
    lim x->1
    mong thầy giúp em!

  101. qu qu viết:

    Thầy ơi, em nhầm ạ.
    X-> 0
    Thầy giải giúp em với ạ.

  102. su viết:

    Lim của ((1+x)(1+2x)(1+3x)-1)/x khi x dần đến 0 giúp e mí

  103. su viết:

    Lim của ((1+x)(1+2x)(1+3x)-1)/x khi x -> 0 giúp e mí

  104. Yoo viết:

    Lim có x-> -x , có nghĩa là s z thầy

  105. bích trâm viết:

    thầy ơi cho e hỏi , bài 1 câu b , s tử phân tích ra (x+3) vậy thầy

  106. Quỳnh viết:

    Thầy giúp em bài này đi ạ
    (√(x-4) – √(x+4) +2)/(x-5)

  107. thăng viết:

    thầy giúp e mấy bài này đi ạ:
    lim tg2x/3x lim (1-cosx)/x2 em cảm ơn thầy trước ạ
    x đến o x đến o

    • Dùng công thức $lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$
      1. $\frac{tan2x}{3x}=\frac{2}{3}\frac{sin2x}{2x}.\frac{1}{cos2x}$ và áp dụng công thức trên

      2. em áp dụng công thức hạ bậc rồi cũng biến đổi đưa về công thức trên đầu nhé

  108. mộc hi viết:

    Lim 1-căn(2x+1) +sinx tất cả trên căn (3x+4)-2-x với x –>0
    Thầy giúp e vs ạ.

  109. ngoc viết:

    lịm (x^3-4x^2+4x-3)/(x^2-3x) với x->3

  110. ngoc viết:

    lịm ((x+2)^2-1)/(x^2-1) với x->1

  111. ngoc viết:

    thầy ơi giúp em hai bài trên được không ạ

  112. Bọt Đất viết:

    Thầy giúp e mấy câu này vơi ạ. E cảm ơn thầy.
    1. Lim căn (x+3)-2x / tan(x-1) với x–>1
    2.lim 1 – cosx.can cos2x / x^2 với x–>0
    3.lim cos2x -1 / 1- căn(1-x^2) với x –>0

  113. hieu viết:

    thầy ơi jup e: lim ( can bac 2 của x+canbac2 cua x+canban 2 cua x)-can bac 2 của x)…ý là vế đầu căn bậc 2 của x 3 cái liên tục x>duong vo cùng…e cảm ơn!

  114. vân anh viết:

    thầy ơi giúp e bài nay với.
    lim( căn bậc 2 (x+2) -căn bậc 3 (x+20)) / (căn bậc 4 (x+9) – căn bậc 5 (4x+4) )

  115. NHI viết:

    Em chào thầy. E có 1 thắc mắc mong thầy giải đáp giúp em ạ.
    Để khử dạng vô định dùng cách nhân biểu thức liên hợp thì có cần điều kiện gì không ạ. Nghĩa là, khi nào thì dùng luên hợp được ạ. Vì khi nhân liên hợp mà không có điều kiện là sẽ thay đổi tập nghiệm ạ.

  116. Tùng viết:

    Thầy ơi giúp em bài này với
    1.lim(2^(1/(x-1))) khi x-> 1+ và 1-
    2.limarctg(1/x-1) khi x-> 1+ và 1-

  117. Uyên viết:

    Thầy ơi , trên lớp giáo viên toán của e có giải mấy bài kiểu như sau
    [căn(1+2×0 -căn bậc ba (1+3x)]/ x^2
    bằng cách thêm bớt x+1 rồi liên hợp
    Thầy chỉ e cách tìm ra biểu thức để thêm bớt với ạ ( như x+1 trong bài trên) làm sao để biết được cần thêm bớt lượng này ạ

    • Chúng ta cần xuất hiện hằng đẳng thức ở đây.
      Biểu thức $\sqrt{1+2x}$ khi bình phương lên trở thành 1+2x. Muốn thành hằng đẳng thức cần thêm x^2. Khi đó ta có $(x+1)^2$
      Biểu thức $\sqrt[3]{1+3x}$ khi lập phương lên trở thành 1+3x. Muốn thành hằng đẳng thức cần thêm 3x^2+x^3. Khi đó ta có $(x+1)^3$
      Ở đây đều xuất hiện x+1 nên nghĩ tới việc phân tích như vậy

  118. khoa viết:

    thầy ơi giúp em tính lim [căn 3(x+26) – căn 2(x^2-X+9)]/(x-x^2) khi x -> 1

  119. khanh viết:

    thầy ơi! bài này tính lim ntn
    căn n+1 trừ căn n

  120. thu trang viết:

    th giúp e bài lim x ->0 (1+x)^lnx với ạ

  121. Anh viết:

    thầy ơi giúp e với
    (1+8)^x /(x – 2) có công thức gì lạ lắm thầy ạ.

  122. Châu viết:

    Thầy ui, giải giúp e bài này với ạ
    Lim x -> -1 : (căn bậc 3 của x) +1 chia 2x bình + 5x +3 .
    Mơn thầy nhìu

  123. Em phân tích mẫu thành $2(x+1)(x+\frac{3}{2})$
    Sau đó nhân cả tử và mẫu với biểu thức $\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1$. Trên tử sẽ đc x+1, khử với biểu thức dưới mẫu sẽ mất dạng 0/0

  124. luong viết:

    lim của (x^4-1)/(x^3-1) khi x -> thì làm sao ạ

  125. chí vũ viết:

    thay giaỉ em cau này voi lim sin^2(2x)/x^2 khi x =>0

  126. mytien viết:

    Thầy giúp e câu này với
    Lim[(√bậc 5 cuax)- 1]\(căn bậc 4 cuax) -1] x =>1

  127. dương mỹ viết:

    lim 1-can bac hai cosx/1-cos(can bac hai x)
    x đen 0
    lim lnx-lna/x-a (a>0)
    x đen a
    lim 1-cosx*cos2x*cos3X/1-cosx

  128. Dương Nguyễn viết:

    thầy ơi giúp e với
    lim (( x^anpha – 2^anpha)chia(x^beta-2^beta))
    x đến 2 ạ

  129. như viết:

    câu này làm sao thầy :lim(n đến +VC) [ln(n^2-n+1)/ln(n^10+n+1)]

  130. quoctrung viết:

    cho e hỏi lim (e^(-x) – e^x +2x)/(1-cosx) , khi x dần tới 1 ạ

  131. thúy hà viết:

    lim(cot7x^2).lncos(3x^2-2x)
    thầy giúp em câu này với ạ.

  132. tiep viết:

    Thay giup em cau nay .lim(1+x)^1/x-e]/x X>0

  133. chiến viết:

    thầy ơi em hỏi ạ
    lim ( x^n – a^n ) / ?(x-1 ) khi x tiến đến 1 ạ

  134. chiến viết:

    hộ em với thầy
    ( x + x^2 +….+x^ -x ) / (x-1) khi x tới 1
    và ( x^ – nx + ( n-1 ) ) / (x-1 )^2 khi x tới 1
    hộ em với ạ

  135. Hà Trang viết:

    giúp em với ạ
    Tính Lim [(căn(1+x^2)+x)^n-(căn(1+x^2)-x)^n]/x

  136. Hà Trang viết:

    với x dần tới 1 ạ

  137. Thu liễu viết:

    Thầy tính giúp e câu này ạ
    Khi x->1
    Lim[(1-căn bậc hai của x)*(1-căn bậc ba của x)*(1-căn bậc 4 của x)*(1-căn bậc 5 của x)]/(1-x)^4

  138. khánh viết:

    cho em hỏi
    tìm lim(căn(5+4x)-căn bậc 3(7+6x))/(x^3+x^2-x-1)

  139. Thiện viết:

    Thầy cho hỏi, trong khi nhân lượng liên hợp mà phải thêm bớt lượng ax + b thì làm sao để tính a, b cho nhanh.
    Cám ơn thầy.

  140. Nhật Linh viết:

    Thầy giải giúp em với lim= ((1+3x)^3-(1-4x)^4))/x

  141. Vân viết:

    Thầy giải hộ em bài này vs ạ. Em cảm ơn thầy.
    lim ( căn bac 2( (7-2x^2)/6) + căn bậc 3( 7x-8) – x)/ ( 8x^2 -24x +17) vs x (6 + căn bậc 2 (2))/4

  142. kha viết:

    thầy ơi làm sao xác định nó là dạng vô định nào ạ

  143. thắng viết:

    giúp e câu này ạ
    (x^2-4)/(căn((x^2+1)(2-x))) khi x đến 2-

  144. Ha viết:

    (Căn hai(1+2x) nhân căn ba(1+4x) -1)/x lim x tiến đến 0. Giúp em vơI ạ

  145. Linh viết:

    Thầy ơi giúp e với ạ
    Lim(x^100-2x+1)/(x^50-2x+1) khi x->1 ạ
    E cảm ơn thầy

  146. Linh viết:

    thầy ơi cho e hỏi ạ
    lim{(x^n-a)-n(x-a)(a^(n-1)}/(x-a)^2 khi x ->a
    E cảm ơn thầy ạ

  147. Thiết viết:

    Thầychỉ giúp em với ạ lim 3√x +1/√x2+3-2
    x->-1

  148. Hải thu viết:

    ((Căn bậc ba của x)-2)/((căn bậc 2 của(x+1))-3
    Thầy giúp e với ạ

  149. Quỳnh Anh viết:

    Thầy giúp em với ạ
    lim(căn bậc 2)x+2 + 2(căn bậc 2)x-1 – 4/x-5x+6

  150. Khánh Vy viết:

    Bài thầy giảng chi tiết và dễ hiểu lắm ạ! Em cảm ơn thầy

  151. Quân viết:

    Thầy ơi giúp e với ạ
    Lim x->0 (căn(x+1)+căn(x+4)-3)/x
    Cảm ơn thầy nhiều lắm ạ

  152. HOCTOAN24H viết:

    em tách biểu thức như sau, rồi nhân liên hợp từng ngoặc ở trên tử
    $\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)+(\sqrt{x+4}-2)}{x}$
    =$\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x+1}+1}+\dfrac{x}{\sqrt{x+4}+2}}{x}$
    =$\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$
    Tới đấy em thêm Lim vào và tính thôi, kết quả bằng 3/4

    Ngoài ra có thể tham khảo cách giải nhờ áp dụng quy tắc L’Hoppytal ở bài giảng này nữa nhé, cách làm rất nhanh https://hoctoan24h.net/tim-gioi-han-dang-vo-dinh-bang-quy-tac-lhopital/

  153. Kế Sơn viết:

    thưa thầy thầy giúp em giải câu giới hạn này được không ạ?
    (6^5x-1)/ sqrt(7x+4) – 2 khi x tiến đến 0

    • HOCTOAN24H viết:

      em áp dụng giới hạn $lim \dfrac{a^x-1}{x}=a$ khi x tới 0
      vậy để xuất hiện dạng như vậy em chia cả tử và mẫu cho 5x. sau đó tính giới hạn tren tử và giới hạn dưới mẫu nhé. rồi thử lại bằng máy tính là ok

  154. quân viết:

    giải giúp em bài này vs ạ: limx->1 của (căn bậc 2 (2x-1)-căn bậc ba(3x^2-3x+1))/(x-1)^2

    • thành viết:

      thầy giải giúp em bài này với ạ limx->0 ((1-cawncos4x)/xsin2x)
      limx->0 ( ln2^x)/sin3x
      limx->0 (cos3x +sin2x)^(1/x)
      limx->0 (1- sin5x)^(1/(e^3x-1)

  155. Quang long viết:

    THầy giúp cau nay voi lim căn bậc hai x+3 – can bac hai x+8 +1 /x-1 x->1

  156. Khánh viết:

    Tính lim (1-5^x)/(1-e^x) khi x tiến đến 0 . Ạk

Để lại một bình luận

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!