Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các bạn tính giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng: $\infty/ \infty$. Đây là một trong những dạng giới hạn vô định thường gặp khi giải toán. Trong chuyên đề này thầy đã có một bài giảng tìm giới hạn dạng không trên không – $0/0$ gửi tới các bạn thời gian trước. Bạn nào chưa xem thì có thể ghé qua để cổ vũ thầy. Nội dung của dạng giới hạn vô định hôm nay có nội dung như sau:

Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Cho hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ với $\lim \limits_{x \to \infty}{f(x)}=\infty $ và $\lim \limits_{x \to \infty}{g(x)}=\infty $

Để tìm được giới hạn dạng này thì thầy chia làm 2 trường hợp như sau:

Trường hợp hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm hữu tỷ.

Ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất và áp dụng tính chất: $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{1}{x^n}} =0$ với $n \in N^*$. Hoặc các bạn cũng có thể làm bằng cách đặt nhân tử chung là ẩn có có lũy thừa bậc cao nhất.

Giả sử có hàm số $y=\frac{2x^4+…}{4x^2+…}$ thì các bạn chia cả tử và mẫu cho $x^4$

Nếu có hàm số $y=\frac{1+…+2x^3}{2-x^3+…}$ thì chia cả tử và mẫu cho $x^3$

Nếu có hàm số  $y=\frac{1+…+2x^3}{4+x^6+…}$ thì chia cả tử và mẫu cho $x^6$

Trường hợp hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm vô tỷ (hàm chứa căn)

Với trường hợp này các bạn làm như sau:

Giả sử bậc của căn thức là $m$, bậc cao nhất của ẩn trong căn là $n$. Các bạn lấy thương của $\frac{n}{m}$ và coi đây là bậc của căn thức đó. Sau đó các bạn hãy chia cả tử và mẫu của biểu thức cho lũy thừa cao nhất (giống trường hợp 1) hoặc thực hiện đặt nhân tử chung, sau đó đơn giản biểu thức.

Giả sử có biểu thức trên tử hoặc dưới mẫu là: $\sqrt[3]{1-2x^2+x^3}$ thì các bạn biến đổi thành

• $\sqrt[3]{1-2x^2+x^3}$=$\sqrt[3]{x^3.(\frac{1}{x^3}-\frac{2}{x}+1)}$  (Đặt nhân tử chung là $x^3$)
• Hoặc $\sqrt[3]{1-2x^2+x^3}=\frac{\sqrt[3]{1-2x^2+x^3}}{x}=\sqrt[3]{\frac{1-2x^2+x^3}{x^3}}$  (Chia cả tử và mẫu cho $x$). Vì $x^{\frac{n}{m}}=x^{\frac{3}{3}}=x$

Các bạn thấy nếu làm như vậy thì thật đơn giản phải không nào. Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng không có gì là phức tạp. Vậy nếu không có gì thắc mắc thêm thì chúng ta cùng đi nghiên cứu một vài bài tập áp dụng. Tuy nhiên các bạn có thể sẽ gặp phải sai lầm khi giải trường hợp 2 này đó. Để biết điều đó có thể sảy ra hay không, các bạn hãy theo dõi bài tập 2 nhé.

Có thể bạn quan tâm: Cách chia đa thức bằng lược đồ Hooner hay

Bài tập giới hạn dạng vô cùng trên vô cùng

Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a. $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{3x^4+2x^2+1}{5x^3+3x+2}}$ $\hspace{1.5cm}$ b. $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{2x^3+2}{2x^3+3x^2}}$ $\hspace{1.5cm}$ c. $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{x+1}{3x^2+3x-9}}$

Hướng dẫn giải:

a. Trường hợp này các bạn thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 4, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 3. Vậy Trong trường hợp này thầy sẽ sử dụng cách đặt nhân tử chung là $x^4$ trước rồi mới thực hiện phép chia.

$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{3x^4+2x^2+1}{5x^3+3x+2}}$

$=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{x^4(3+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4})}{x^4(\frac{5}{x}+\frac{3}{x^3}+\frac{2}{x^4})}}$

$=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{3+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}{\frac{5}{x}+\frac{3}{x^3}+\frac{2}{x^4}}}$

$=\frac{3}{0}$

$=\infty$

Ở đây các bạn để ý $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{2}{x^2}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{1}{x^4}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{5}{x}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{3}{x^3}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{2}{x^4}} =0$

Từ các ví dụ sau thầy sẽ không giải thích cụ thể chỗ này nữa nhé.

b. Trường hợp này các bạn thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 3, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 3. Vậy ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc 3.

$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{2x^3+2}{2x^3+3x^2}}$

$=\lim \limits_{x \to \infty}{\frac{\frac{2x^3+2}{x^3}}{\frac{2x^3+3x^2}{x^3}}}$

$=\lim \limits_{x \to \infty}{\frac{2+\frac{2}{x^3}}{2+\frac{3}{x}}}$

$=\frac{2}{2} =1$

Với cách làm ở ý (a) và ý (b) các bạn chọn cách nào cũng đc, bạn thấy cách nào trình bày dễ nhìn, dễ hiểu thơn thì làm nhé.

c. Trường hợp này các bạn thấy lũy thừa bậc cao nhất của tử là 1, lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là 2. Vậy ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc 2.

$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{x+1}{3x^2+3x-9}}$

$=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{x^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(3+\frac{3}{x}-\frac{9}{x^2})}}$

$=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{3+\frac{3}{x}-\frac{9}{x^2}}}$

$=\frac{0}{3}=0$

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:

a. $\lim \limits_{x \to +\infty} {\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{3x+5}}$ $\hspace{1.5cm}$ b. $\lim \limits_{x \to \infty}{\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}$

Hướng dẫn giải:

a.  Với ý (a) này các bạn thấy hàm số chứa căn bậc 2, biểu thức trong căn chứa lũy thừa bậc cao nhất là 2. Biểu thức ngoài căn chứa lũy thừa bậc cao nhất là 1. Vậy trong căn các bạn cần đặt nhân tử chung là $x^2$ (trùng với bậc của căn) để có thể khai căn được.

$\lim \limits_{x \to +\infty} {\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{3x+5}}$

$=\lim \limits_{x \to +\infty} {\frac{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}+x}{x(3+\frac{5}{x})}}$

$=\lim \limits_{x \to +\infty} {\frac{x.\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+x}{x(3+\frac{5}{x})}}$

$=\lim \limits_{x \to +\infty} {\frac{x.(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1)}{x(3+\frac{5}{x})}}$

$=\lim \limits_{x \to +\infty} {\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}{3+\frac{5}{x}}}$

$=\frac{1+1}{3} =\frac{2}{3}$

Ở bước 3 các bạn thấy thầy khai căn $\sqrt{x^2}=x$ được là vì sao không? Bởi vì $ x \to +\infty \Rightarrow x>0$ do đó ta có thể khai căn một cách dễ dàng.

Thầy đã nói trong bài 2 này có thể sẽ sảy ra sai lầm khi các bạn tìm giới hạn, ý (a) chưa thấy sai lầm nào cả, vậy chắc chắn điều mà thầy nhắc tới sẽ nằm trong ý (b) này rồi. Chúng ta cùng tìm hiểu tiếp.

b.  $\lim \limits_{x \to \infty}{\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}$

Chia cả tử và mẫu cho $x$ ta có:$\lim \limits_{x \to \infty}{\frac{\frac{x+3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}}=\lim \limits_{x \to \infty}{\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}}$

Giờ ta phải đưa $x$ vào căn. Nhưng vì chưa biết ẩn $x$ mang giá trị dương hay âm nên ta xét 2 trường hợp như sau:

TH1:

$x \to +\infty \Rightarrow x>0 \Rightarrow x=\sqrt{x^2}$

Ta có: $\lim \limits_{x \to +\infty}{\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}}=\lim \limits_{x \to +\infty}{\frac{1+\frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}}=\lim \limits_{x \to +\infty}{\frac{1+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}}=\frac{1}{1}$

TH2:

$x \to -\infty \Rightarrow x<0 \Rightarrow x=-\sqrt{x^2}$

Ta có: $\lim \limits_{x \to -\infty}{\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}}=\lim \limits_{x \to -\infty}{\frac{1+\frac{3}{x}}{-\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}}=\lim \limits_{x \to -\infty}{\frac{1+\frac{3}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}}=\frac{1}{-1}=-1$

Vì $\lim \limits_{x \to +\infty}{\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}=1$ và $\lim \limits_{x \to -\infty}{\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}=-1$ nên không tồn tại :$\lim \limits_{x \to \infty}{\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}}$

Các bạn cần chú ý trong ý (b) của bài 2 này khi mà bài toán cho giới hạn $x \to \infty$, tức là chúng ta chưa biết rõ tiến tới $-\infty$ hay $+\infty$. Khi đó các bạn cần xét hai trường hợp như trên. Nếu hai giới hạn tìm được có giá trị bằng nhau thì sẽ tồn tại giới hạn và giá trị của giới hạn hàm số chính bằng giá trị vừa tìm được đó. Ngược lại thì không tồn tại giới hạn. Đây có thể coi là sai lầm khi tìm giới hạn hàm số của mọi người.

Bạn có thể áp dụng cách giải dạng vô cùng trên vô cùng này bằng một cách giải khác, đó là sử dụng quy tắc L’Hopital. Nếu bạn quan tâm tới quy tắc L’Hopital thì xem bài giảng này tại link sau: Tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc L’Hopital

Bạn có muốn xem thêm bài giảng: Chuyên đề phương trình đường thẳng trong Oxy

Lời kết

Như vậy thầy đã phân tích và hướng dẫn các bạn cách tính giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng xong rồi. Hãy nghiên cứu kĩ cách làm của thầy trong 2 bài tập ở trên, các bạn sẽ thấy giới hạn hàm số dạng vô cực trên vô cực này không khó làm, chỉ cần cẩn thận biến đổi và rút gọn thôi. Hãy ủng hộ thầy cái LIKE nếu thấy bài viết hữu ích với bạn nhé.