Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $M(x_M;y_M)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M(x_M;y_M)$ đến đường thẳng $\Delta$ được xác định bởi công thức:

$d(M,\Delta)=\dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ chính là đoạn MH với H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng $\Delta$.

Như vậy để tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ thì chúng ta cần phải xác định được 2 yếu tố:

  • Tọa độ điểm M
  • Phương trình của đường thẳng $\Delta$

Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng a lần lượt có phương trình là: $2x+3y-1=0$ và $4x+3y-5=0$

a. Tính khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến đường thẳng $\Delta$

b. Tính khoảng cách từ điểm $A(2;4)$ đến đường thẳng $a$

Hướng dẫn:

a. Khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M,\Delta)=\dfrac{|2.2+3.1-1|}{\sqrt{2^2+3^2}}$

=> $d(M,\Delta)=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$

=> $d(M,\Delta)=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$

b. Khoảng cách từ điểm $A(2;4)$ đến đường thẳng $a$ là:

$d(M,a)=\dfrac{|4.2+3.4-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}$

=> $d(M,a)=\dfrac{15}{\sqrt{4^2+3^2}}$

=> $d(M,a)=\dfrac{15}{5}=3$

Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết $A(1;2)$; $B(2;3)$; $C(-1;2)$. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC.

Hướng dẫn:

Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC.

Ta có: $\vec{BC}=(-3;-1)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: $\vec{n}_{BC}=(1;-3)$

Đường thẳng BC đi qua điểm $B(2;3)$ có phương trình là:

$1.(x-2)-3(y-3)=0$ <=> $x-3y+7=0$

Khoảng cách từ điểm $A(1;2)$ đến đường thẳng BC là:

$d(A,BC)=\dfrac{|1-3.2+7|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}$

=> $d(A,BC)=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$

=> $d(A,BC)=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC bằng: $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Bài tập 3: Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng a có phương trình: $x+y-3=0$ và có khoảng cách đến đường thẳng b có phương trình $3x-4y+5=0$ bằng 3.

Hướng dẫn:

Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng a. Khi đó ta có tọa độ của điểm $M$ là: $M(x_M;-x_M+3)$

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b là:

$d(M,b)=\dfrac{|3x_M-4(x_M+3)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}$

=> $ d(M,b) = \dfrac{|-x_M-7|}{5}$

=> $ d(M,b) = \dfrac{|x_M+7|}{5}$

Theo bài ra khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b bằng 3 nên ta có:

$ \dfrac{|x_M+7|}{5}=3$

<=> $|x_M+7|=15$

<=> $x_M+7=15$ hoặc $x_M+7=-15$

<=> $x_M=8$ hoặc $x_M=-19$

Vậy có hai điểm M thuộc đường thẳng a và có khoảng cách đến đường thẳng b bằng 3 là hai điểm $M_1(8;-5)$ và $M_2(-22;-19)$

Hình minh họa

Bài tập rèn luyện tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Bài tập 1: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a và b lần lượt có phương trình là: $2x-3y+7=0$ và $4x+3y-11=0$.

a. Tính khoảng cách từ điểm $A(2;-3)$ tới đường thẳng a

b. Tính khoảng cách từ điểm $B(-4;3)$ tới đường thẳng b

Bài tập 2: Tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là A(4;2) và phương trình một đường chéo là $x+2y+2=0$

Bài tập 3: Viết phương trình của đường thẳng a song song với đường thẳng b: 3x + 4y – 1 = 0 và cách đường thẳng b một đoạn bằng 2

Bài tập 4: Tìm bán kính của đường tròn tâm I(2, –3) và tiếp xúc với đường thẳng: 12x -5y +3 = 0

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!