Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đường cao và đường trung tuyến

Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đường cao và đường trung tuyến cùng xuất phát từ một đỉnh.

Bài tập:

Cho tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình tưởng ứng là: (d1): $2x-3y+12=0$ và (d2): $2x+3y=0$. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Phân tích:

• Viết phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với d1
• Tìm tọa độ điểm A là giao của d1 và d2
• Tìm tọa độ của điểm M là giao của BC và d2
• Tìm tọa độ của điểm B biết C và M
• Viết phương trình trình đường thẳng AB, BC, AC

Xem thêm bài giảng khác:

• Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
• Viết phương trình các cạnh của tam giác biết 2 đường cao
• 2 cách tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
• Viết phương trình các cạnh của tam giác biết 2 đường trung tuyến
• Viết phương trình đường trung bình của tam giác

Hướng dẫn:

Phương trình cạnh BC:

Vì $BC\bot (d1)$ đường thẳng BC nhận vecto chỉ phương của đường thẳng (d1) làm vecto pháp tuyến.

Vecto chỉ phương của đường thẳng (d1) là: $\vec{u_1}=(3;2)$

Suy ra vecto pháp tuyến của đường thẳng BC chính là vecto $\vec{u_1}=(3;2)$

Phương trình đường thẳng BC là: $3(x-4)+2(y+1)=0$=> $3x+2y-10=0$

Tìm tọa độ của điểm A:

Vì điểm A là giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}2x-3y+12=0\\2x+3y=0\end{array}\right.$=>A(-3;2)

Phương trình cạnh AC:

Ta có: $\vec{AC}=(7;-3)$ là chỉ phương của đường thẳng AC => vecto pháp tuyến của đường thẳng AC là $\vec{n_{AC}}=(3;7)$

Đường thẳng AC đi qua A nhận $\vec{n_{AC}}=(3;7)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là: $3(x+3)+7(y-2)=0$ =>$3x+7y-5=0$

Phương trình cạnh AB:

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó M là giao điểm của (d2) và BC

Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin {array}{ll}3x+y-10=0\\2x+3y=0\end{array}\right.$ => M(6;-4)

Vì M là trung điểm của BC nên tọa độ của điểm B thỏa mãn:

$\left\{\begin {array}{ll}x_B+x_C=2x_M\\y_B+y_C=2y_M\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin {array}{ll}x_B=-x_C+2x_M\\y_B=-y_C+2y_M\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin {array}{ll}x_B=8\\y_B=-7 \end{array}\right.$ => B(8;-7))

Đường thẳng AB đi qua A(-3;2) và nhận $\vec{AB}=(11;-9)$ làm vecto chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin {array}{ll}x=-3+11t\\y=2-9t\end{array}\right.$

Vậy phương trình các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC là:

(AB): $\left\{\begin {array}{ll}x=-3+11t\\y=2-9t\end{array}\right.$; (AC): $3x+7y-5=0$; (BC): $3x+2y-10=0$