Bài toán: Lập phương trình của đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: 4x – 2y – 8 = 0 và tiếp xúc với các trục tọa độ Ox, Oy
Để giải bài toán này chúng ta sẽ sử dụng điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với đường tròn.
+ Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy nên khoảng cách từ tâm tới hai trục tọa độ sẽ bằng nhau và bằng bán kính R.
+ Tham số hóa tọa độ của tâm I ta sẽ đưa tọa độ tâm I từ hai ẩn về một ẩn.
Xem thêm bài giảng khác:
- Lập phương trình đường tròn tiếc xúc Ox, Oy và đi qua điểm A
- Lập phương trình đường tòn đi qua 3 điểm không thẳng hàng
- Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn có lời giải
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng (d): 4x-2y-8=0 => 2x-y-4=0 => y=2x-4
Vì tâm I của đường tròn thuộc đường thẳng (d) nên nếu gọi hoành độ điểm I là t thì tung độ là y=2t-4
=> tọa độ điểm I(t;2t-4) (Đây gọi là tham số hóa tọa độ điểm I)
Khoảng cách từ tâm I tới trục Ox (y=0) là: $d(I;Ox)=|2t-4|$
Khoảng cách từ tâm I tới trục Oy (x=0) là: $d(I;Oy)=|t|$
Vì đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục Ox và Oy nên ta có:
$d(I;Ox)=d(I;Oy)=R$ =>$|2t-4|=|t|=R$
Trường hợp 1:
+) $2t -4=t$ =>$t=4$ => $I(4;4)$ và $R=4$
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $(x-4)^2+(y-4)^2=16$
Trường hợp 2:
+) $2t -4=-t$ =>$t=\dfrac{4}{3}$ => $I(\dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3})$ và $R=\dfrac{4}{3}$
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $(x-\dfrac{4}{3})^2+(y+\dfrac{4}{3})^2=\dfrac{16}{9}$
Phương pháp tọa độ hóa điểm I như này giúp chúng ta có được phương trình một ẩn và rút ngắn được bước giải rất nhiều. Nếu bài toán cho đường thẳng (d) dưới dạng tham số thì sẽ dễ hơn nhiều. Giả sử đường thẳng (d) bài cho dưới dạng là: $\left\{\begin{array}{ll}x=1+2t\\y=3-t\end{array}\right.$ thì tọa độ điểm $I$ là: $I(1+2t;3-t)$
Nếu các bạn không muốn tham số hóa tọa độ điểm I như trong hướng dẫn trên của thầy thì có thể sử dụng cách sau:
+) Gọi đường tròn (C) là: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ với tọa độ của tâm $I(a;b)$
+) Vì điểm I thuộc đường thẳng (d) nên ta có: $4a-2b-8=0$
+) Khoảng cách từ điểm I tới hai trục tọa độ Ox, Oy bằng nhau và bằng R.
Với cách giải này các bạn sẽ có hai ẩn là a và b nhé.
Chúc các em học tốt.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
