Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm

Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm là một dạng bài tập cũng thường có mặt trong các đề thi đại học, cao đẳng. Đây là dạng bài tập thứ hai thầy gửi tới chúng ta trong chuyên đề về viết phương trình mặt phẳng. Các bạn có thể xem thêm bài giảng trong cùng chuyên đề này:

Bài giảng hay cùng chuyên đề:

1. Lý thuyết phương trình mặt phẳng trong không gian

2 Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Trước khi gửi tới chúng ta dạng bài tập thì thầy sẽ trình bày với các bạn lý thuyết và phương pháp làm bài tập dạng này.

1. Lý thuyết phương trình chùm mặt phẳng

– Giả sử cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau:

$(P): A_1x + B_1y +C_1z + D_1=0$

$(Q): A_2x + B_2y +C_2z + D_2=0$

Khi đó mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ sẽ có dạng:

$m(A_1x + B_1y +C_1z + D_1) + n(A_2x + B_2y +C_2z + D_2)=0$      (1)  với $m^2+n^2>0$

(1) gọi là phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi $(P)$ và $(Q)$

2. Khi nào ta có thể lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm?

Cho đường thẳng $d$ viết dưới dạng: $d$: $\left \{\begin{array}{ll}A_1x + B_1y +C_1z + D_1=0\\A_2x + B_2y +C_2z + D_2=0 \end{array}\right.$

Bài toán đòi hỏi viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và có một số tính chất nào đó. Những tính chất (điều kiện đó) có thể sẽ là:

• Mặt phẳng của chùm đi qua 1 điểm cho sẵn.
• Mặt phẳng của chùm chứa 1 đường thẳng $\Delta$ cho sẵn.
• Mặt phẳng của chùm song song với 1 đường thẳng (hoặc 1 mặt phẳng) cho sẵn.
• Mặt phẳng của chùm vuông góc với 1 đường thẳng (hoặc 1 mặt phẳng ) cho sẵn.

3. Cách giải bài toán trên được tiến hành ra sao?

Bước 1: Mọi mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ đều có dạng $(1)$

Bước 2: Dựa vào 1 điều kiện khác của bài toán cho sẽ thiết lập thêm được 1 phương trình nào đó liên hệ giữa $m$ và $n$.

Bước 3: Chú ý rằng $m, n$ không đồng thời bẳng $0$, nên sẽ xác định được $m, n$ (bằng cách cho $m, n$ những giá trị thích hợp)

Đó là những nội dung về lý thuyết và phương pháp làm bài tập cho việc sử dụng phương trình chùm mặt phẳng. Ngay dưới đây thầy sẽ gửi tới các bạn một số ví dụ trong đề thi đại học các năm trước, có thể áp dụng với dạng toán này.

4. Các bài tập vận dụng

Hướng dẫn giải

a. Phân tích bài toán

– Mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1$ => có dạng chùm ?

– Mặt phẳng $(P)$ song song với $d_2$ => VTPT của $(P)$ và VTCP của $d_2$ liên quan như thế nào?

b. Trình bày lời giải

Vì $(P)$ chứa $d_1$ nên $(P)$ thuộc chùm mặt phẳng :

$m(x-2y+z-4) + n(x+2y-2z+4)=0$

$\Leftrightarrow (m+n)x + (-2m+2n)y + (m-2n)z -4m + 4n =0$    $(1)$ với $m^2+n^2>0$

Khi đó mặt phẳng $(P)$ có VTPT là: $\vec{n}=(m+n; -2m+2n; m-2n)$    $(2)$

Do $(P)$// $d_2$ . Vì vậy mà VTCP $\vec{u_2}=(1;1;2)$ của $d_2$ phải vuông góc với VTPT $\vec{n}$ của $(P)$. Ta sẽ có:

$\vec{u_2} \bot \vec{n} \Leftrightarrow \vec{u_2}.\vec{n}=0 \Leftrightarrow m+n-2m+2n+2(m-2n)=0 \Leftrightarrow m=n$

Do $m^2+n^2 >0$ nên ta chọn: $n=1 \Rightarrow m=1$.

Thay lại vào $(1)$ ta có: $2x-z=0$. Đó chính là phương trình mặt phẳng của $(P)$

Hướng dẫn giải

1. Chứng mình $d_1 // d_2$. Ý này thì các bạn tự làm nhé. Các bạn chỉ việc tìm VTCP của hai đường thẳng và xem chúng có tỷ lệ với nhau hay không?

2. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa cả $d_1$ và $d_2$

a. Phân tích bài toán

– Mặt phẳng $(P)$ chứa $d_2$ => có dạng chùm ?

– Mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1$ => Lấy 1 điểm thuộc $d_1$ => có thuộc $(P)$ hay không? => Lời giải?

b. Trình bày lời giải

Vì $(P)$ chứa $d_2$ nên $(P)$ thuộc chùm mặt phẳng:

$m(x+y-z-2)+n(x+3y-12)=0$  $(1)$  với $m^2+n^2 >0$

Vì $d_1 \in (P)$ nên mọi điểm thuộc đường thẳng $d_1$ đều thuộc mặt phẳng $(P)$.

Ta lấy $M(1;-2;-1) \in d_1$ khi đó $M \in (P)$. Vì $M \in (P)$ nên tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $(1)$.

Ta có: -2m-17n =0   $(2)$

Từ $(2)$ và do $m^2+n^2>0$ nên ta chọn $n=-2; m=17$.

Thay lại vào $(1)$ ta có phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $15x + 11y -17z -10 =0$

Chú ý:

Lời giải trên thầy sử dụng mặt phẳng $(P)$ chứa $d_2$ => có dạng chùm. Câu hỏi đặt ra ở bước này là tại sao lại sử dụng đường thẳng $d_2$ mà không sử dụng $d_1$? và ta có thể sử dụng đường thẳng $d_1$ được không?

Trả lời các bạn rằng: Ta sử dụng $d_2$ vì $d_2$ đang ở dạng phương trình tổng quát => phù hợp cho dạng chùm. Bạn hoàn toàn có thể sử dụng $d_1$ ở bước này được nhưng phải chuyển $d_1$ từ dạng phương trình tham số về dạng phương trình tổng quát tổng quát.

Hướng dẫn giải

a. Phân tích bài toán

– Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ => $(P)$ thuộc chùm ?

– Khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ bằng 3 => Biểu thức về khoảng cách ? => Lời giải ?

Nếu bạn chưa biết tính khoảng cách thì nên xem bài giảng: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

b. Trình bày lời giải

Vì mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ nên thuộc chùm mặt phẳng:

$m(2x-y-1)+n(z-1)=0 \Leftrightarrow 2mx-my+nz-m-n=0$    $(1)$ với $m^2+n^2>0$

Vì khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $3$ tức là: $d_{(A,(P)}=3$. Nên ta có:

$\frac{|-2m-2m+3n-m-n|}{\sqrt{4m^2+m^2+n^2}}=3 \Leftrightarrow \frac{|-5m+2n|}{\sqrt{5m^2+n^2}}=3$

$\Leftrightarrow |-5m+2n|=3\sqrt{5m^2+n^2}\Leftrightarrow 25m^2-20mn+4n^2=9(5m^2+n^2)$

$\Leftrightarrow 4m^2+4mn+n^2=0 \Leftrightarrow (2m+n)^2=0 \Leftrightarrow 2m+n=0$            $(2)$

Vì $m^2+n^2 >0$ nên từ $(2)$ ta chọn $m=1; n=-2$

Thay $m=1; n=-2$ vào $(1)$ ta được  $(P)$ là: $2x-y-2z+1=0$

4. Lời kết

Vậy là dạng toán thứ hai “Lập phương trình mặt phẳng theo phương trình chùm” thầy đã trình bày xong với các bạn. Bài toán dạng này thì rất nhiều, tuy nhiên các bạn hãy xem kĩ lý thuyết và phương pháp ở bên trên để biết được khi nào thì áp dụng được chúng. Các bạn hãy trao đổi nếu cần trong hộp bình luận phía dưới nhé.

Bài tập về nhà:

Bài tập 4: Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng:
$d: \left \{\begin{array}{ll}2x-y+3z-5=0\\ x+2y-z=0 \end{array}\right.$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q)$: $x-2y+2z-10=0$

Xem video bài giảng: