Lý thuyết nguyên hàm và tích phân

A. Lý thuyết nguyên hàm và tích phân

I. Nguyên hàm

1. Định nghĩa nguyên hàm:

Hàm số $F_{(x)}$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f_{(x)}$ trên $(a;b)$ nếu $F’_{(x)} = f_{(x)}$

Ví dụ:

• Hàm số $y=x^2$ là nguyên hàm của hàm số $y=2x$ trên $R$ vì $(x^2)’=2x$
• Hàm số $y=lnx$ là nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{x}$ trên $(0;+\infty)$ vì $ (lnx)’=\frac{1}{x}$

2. Định lý:

$F_{(x)}$ là nguyên hàm của hàm số $f_{(x)}$ trên $(a;b)$ thì:

a. Với mọi hằng số $C$ thì $F_{(x)} + C$ cũng là nguyên hàm của hàm số $f_{(x)}$ trên khoảng đó

b. Ngược lại với mọi nguyên hàm của hàm số $f_{(x)}$ trên $(a;b)$ thì đều có thể viết được dưới dạng $F_{(x)} + C$ với $C$ là hằng số.

Theo định lý trên để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số $f_{(x)}$ ta chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó rồi cộng vào nó một hằng số $C$.

Tập hợp các nguyên hàm của hàm số $f_{(x)}$ gọi là họ nguyên hàm của hàm số $f_{(x)}$ và được kí hiệu là: $\displaystyle \int f_{(x)}dx$ (hay còn gọi là tích phân bất định)

Vậy $\displaystyle \int f_{(x)} = F_{(x)} + C$

Ví dụ: $\displaystyle \int 2xdx = x^2+ C$; $\displaystyle \int 3x^2dx = x^3 +C$

3. Các tính chất của nguyên hàm

a. $\left (\displaystyle \int f_{(x)}dx\right )’ = f_{(x)}$

b. $\displaystyle \int a.f_{(x)} dx = a\displaystyle \int f_{(x)} dx$

c. $\displaystyle \int \left [f_{(x)} \pm g_{(x)}\right ]dx = \displaystyle \int f_{(x)}dx \pm \int g_{(x)} dx$

4. Bảng công thức nguyên hàm:

Xem trong video bài giảng hoặc trong sgk

II. Tích phân

1. Định nghĩa tích phân xác định

Giả sử hàm số $f_{(x)}$ liên tục trren một khoảng $K$ bất kì ,$a; b$ là hai phần tử bất kì của $K$, $F_{(x)}$ là một nguyên hàm của hàm số $f_{(x)}$ trên $K$. Hiệu $F_{(b)} – F_{(a)}$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của $f_{(x)}$. Kí hiệu:

$\displaystyle \int \limits_{a}^{b} f_{(x)} dx = F_{(x)}|_a^b = F_{(b)} -F_{(a)}$

2. Các tính chất của tích phân

Xem trong sách giáo khoa hoặc trong video

3. Phương pháp tính tích phân

• Tính tích phân bằng phương pháp phân tích
• Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
• Tính tích phân bằng phương pháp từng phần

Đó là một số lý thuyết cơ bản về nguyên hàm và tích phân. Trong video này thầy cũng trình bày cụ thể lý thuyết nguyên hàm tích phân, đồng thời còn kèm theo một vài ví dụ áp dụng.

Để củng cố cho phần lý thuyết nguyên và hàm tích phân thì các bạn có thể xem một số video bài giảng sau:

1. Tích phân phân tích
2. Tích phân đổi biến số
3. Tích phân từng phần

Và các bạn chắc chắn nên xem bài giảng dưới đây, đặc biệt là các bạn mới tiếp xúc với tích phân thì thực sự là rất cần thiết. Đó chính là các sai lầm mà thầy sẽ chỉ ra cho chúng ta khi làm bài tập dạng tích phân.

Xem bài giảng ngay: Sai lầm khi tính tích phân

Trên đây là toàn bộ những lý thuyết nguyên hàm và tích phân rất cơ bản. Thầy biết rằng để các bạn đọc những lý thuyết này nhiều khi cảm thấy khó hiểu, đặc biệt là với những bạn đang tìm hiểu để làm thế nào có thể hiểu được nguyên hàm và tích phân và học được tốt phần này. Do đó thầy đã xây dựng thêm 1 video bài giảng để hướng dẫn lại toàn bộ những lý thuyết nguyên hàm và tích phân mà thầy đã viết ở trên. Hy vọng xem xong video này các bạn sẽ hiểu được rõ hơn.