Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian

Để đáp ứng nhu cầu học tập của các bạn hôm nay thầy tiếp tục gửi tới các bạn nội dung kiến thức về đường thẳng trong không gian. Về hình học giải tích trong không gian có hai khái niệm là mặt phẳng và đường thẳng, thì chuyên đề về mặt phẳng nay tạm gọi là hoàn thành, các bạn có thể xem tại đây nhé.

Bài đầu tiên gửi tới các bạn là: “Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian“, trong bài giảng này thầy sẽ trình bày về các dạng phương trình đường thẳng và cách viết từng dạng phương trình đường thẳng. Dưới đây sẽ là nội dung của bài giảng hôm nay.

Lý thuyết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

1. Phương trình tổng quát

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ có dạng:

$\left \{\begin{array}{ll}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 =0\\A_2x + B_2y + C_2z + D_2 =0 \end{array}\right.$

Trong đó $A_1^2 + B_1^2 +C_1^2 >0$; $A_2^2 + B_2^2 +C_2^2 >0$; $A_1:B_1:C_1 \neq A_2:B_2:C_2$

2. Phương trình tham số

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ nhận $\vec{a}(a_1;a_2;a_3)$ làm véctơ chỉ phương có phương trình tham số là:

$\left \{\begin{array}{lll}x=x_0 + a_1t\\y=y_0 + a_2t\\z=z_0 + a_3t\end{array} \right. t\in R$

3. Phương trình chính tắc

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ nhận $\vec{a}(a_1;a_2;a_3)$ làm véctơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:

$\frac{x-x_0}{a_1} = \frac{y-y_0}{a_2} = \frac{z-z_0}{a_3}$

Bài giảng nên xem: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng chính tắc

Chú ý:

Đó là những lý thuyết cơ bản của đường thẳng trong không gian. Sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn một ví dụ vận dụng cho nội dung lý thuyết ở trên.

Có thể bạn quan tâm: Chuyên đề thể tích khối đa diện

Hướng dẫn giải:

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$

a. Phân tích bài toán

– Chọn $A$ hoặc $B$ là điểm đã biết.

– Chọn $\vec{AB}$ hoặc $\vec{BA}$ làm VTCP

b. Trình bày lời giải

Ta có: $\vec{AB} = (-1;2;2)$

Đường thẳng đi qua $A(1;-1;0)$ nhận $\vec{AB}(-1;2;2)$ làm VTCP nên phương trình tham số là:

$\left \{\begin{array}{lll}x=1 + (-1)t\\y=-1 + 2t\\z=0 + 2t\end{array} \right.$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{lll}x=1 – t\\y=-1 + 2t\\z=2t\end{array}\right. t\in R$           $(I)$

Chú ý: Nếu chọn điểm đã biết là $B(0;1;2)$ và $\vec{AB}(-1;2;2)$ làm VTCP thì phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là:

$\left \{\begin{array}{lll}x=- t\\y=1 + 2t\\z=2 + 2t\end{array} \right. t\in R$       $(II)$

Như thế, ta có nhiều cách chọn 1 điểm và 1 VTCP của một đường thẳng. Do đó một đường thẳng có thể có nhiều phương trình tham số khác nhau.

2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$

Rút $t$ theo $x; y; z$ ở trong phương trình tham số $(I)$ ta sẽ được phương trình chính tắc.

Từ $(I)$ ta có:

$\left \{\begin{array}{lll}x=1 – t\\y=-1 + 2t\\z=2t \end{array} \right.$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}t= \frac{x-1}{-1}\\t=\frac{y+1}{2}\\t= \frac{z}{2}\end{array} \right. t\in R$ $\Leftrightarrow \frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{2}$     $(III)$

Chú ý: Nếu rút $t$ từ $(II)$ thì ta có $\frac{x}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{2}$ cũng là một phương trình tham số khác của đường thẳng $AB$.

3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$

Để viết được phương trình tổng quát của đường thẳng ta có 1 số cách làm, nhưng ở đây thầy sẽ hướng dẫn chúng ta chuyển từ phương trình chính tắc. Đây là cách làm dễ hơn cả và chúng ta nên sử dụng.

Từ phương trình chính tắc $(III)$ ta sẽ có được phương trình tổng quát:

$ \frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{2}\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}\frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2}\\\frac{x-1}{-1} = \frac{z}{2} \end{array}\right.$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}2x + y – 1 = 0\\2x + z -2 = 0 \end{array}\right.$

Cũng như phương trình tham số hay phương trình chính tắc, ta cũng có thể tìm được nhiều phương trình tổng quát của đường thẳng.

4. Lời kết

Đó là toàn bộ lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian mà chúng ta cần nắm được. Bài viết này có thể chưa đầy đủ hết những kiến thức về đường thẳng, thầy sẽ tiếp tục bổ xung vào bài tập trong những bài giảng sau.