Lý thuyết phương trình đường tròn trong mặt phẳng

Tổng hợp lý thuyết phương trình đường tròn sẽ gồm một số nội dung về phương trình đường tròn, phương trình tiếp tuyến của đường tròn, vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, phương pháp làm một số dạng toán cơ bản nhất của đường tròn.

Lý thuyết phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $I(a;b)$ và một số thực R với $R>0$. Khi đó đường tròn tâm $I(a;b)$, bán kính R có phương trình dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Ngoài ra đường tròn còn có dạng phương trình tổng quát như sau: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2-c>0$. Khi cho phương trình đường tròn ở dạng tổng quát thì đường tròn này sẽ có tâm là: $I(a;b)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.

Khi bài toán cho phương trình ở dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ thì điều kiện để phương trình này là phương trình đường tròn chính là: $a^2+b^2-c>0$. Lý do $a^2+b^2-c>0$ vì đây chính là bán kính của đường tròn.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có phương trình: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ và đường thẳng $\Delta$. Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn tại điểm $M(x_0;y_0)$.

Khi đó phương trình tiếp tuyến $\Delta$ có dạng: $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$

Để các bạn có thể dễ nhớ phương trình tiếp tuyến của đường tròn thầy sẽ chỉ cho các bạn một cách để chứng minh nó.

Cách chứng minh phương trình tiếp tuyến:

• Gọi M$(x_0;y_0)$ là tiếp điểm, đường tròn có tâm là: $I(a;b)$.
• Để $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì $\Delta$ phải vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Tức là $IM \bot \Delta$ hay $\vec{IM}(x_0-a;y_0-b)$ là vecto pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$.
• Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(x_0;y_0)$ nhận vecto $\vec{IM}(x_0-a;y_0-b)$ làm VTPT có phương trình là: $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (C) có phương trình: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $Ax+By+C=0$.

Gọi d là khoảng cách từ tâm $I(a;b)$ tới đường thẳng $\Delta$:

$d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn:

• Nếu $d>R$: Đường thẳng và đường tròn không cắt nhau
• Nếu $d<R$: Đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
• Nếu $d=R$: Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau. Khi đó đường thẳng $\Delta$ gọi là tiếp tuyến của đường tròn (C).

Phương pháp giải các dạng bài tập về đường tròn cơ bản

Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn

Để có thể nhận dạng một phương trình là phương trình đường tròn hay chứng minh một phương trình là phương trình đường tròn các bạn có thể sử dụng lý thuyết phương trình đường tròn, có 2 cách sau:

Cách 1:

• Biến đổi phương trình về dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$   (1)
• Xét biểu thức: $a^2+b^2-c$.
• Nếu $a^2+b^2-c>0$ thì (1) là phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$, ngược lại thì không phải phương trình đường tròn.

Cách 2:

• Biến đổi phương trình về dạng:$(x-a)^2+(x-b)^2=m$.   (2)
• Nếu $m>0$ thì (2) là phương trình đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R=\sqrt{m}$, ngược lại thì không phải phương trình đường tròn.

Dạng 2: Lập phương trình của đường tròn

Để lập được phương trình của đường tròn thì các bạn cần phải biết tâm và bán kính nếu áp dụng phương trình $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Hoặc phải biết các hệ số a, b, c nếu áp dụng với phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Như vậy có thể các bạn sẽ gặp một số dạng bài tập viết phương trình đường tròn cơ bản như sau:

Trường hợp 1:

Viết phương trình đường tròn khi biết tâm I và bán kính R cho trước. Cái này dễ rồi nhé.

Trường hợp 2:

Viết phương trình đường tròn đi qua điểm cố định A đồng thời nhận điểm I cho trước làm tâm. Khi đó các bạn chỉ việc tìm bán kính của đường tròn là độ dài đoạn $IA=R$.

Trường hợp 3:

Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A và B cho trước cố định, đồng thời cách đều điểm I cố định cho trước. Khi đó các bạn dễ dàng thấy điểm I sẽ là tâm của đường tròn và bán kính chính là độ dài đoạn: $IA=IB=R$.

Trường hợp 4:

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C. Với bài toán này các bạn có thể làm theo 2 cách như sau:

• Cách 1: Thay tọa độ 3 điểm trên vào phương trình đường tròn tổng quát để được 3 hệ phương trình ẩn là a, b và c. Giải hệ này tìm a, b và c sau đó thay ngược trở lại phương trình tổng quát.
• Cách 2: Gọi tâm là $I(a;b)$. Sử dụng điều kiện $IA=IB=IC=R$ để lập một hệ phương trình: $IA^2=IB^2; IA^2=IC^2$. Giải hệ phương trình tìm được tọa độ tâm $I$. Tính bán kính $R=IA$
• Cách 3: Viết phương trình đường trung trực của hai đoạn $AB$ và $BC$. Tìm giao của hai đường trung trực này, gọi là $I$. Khi đó tọa độ $I$ chính là tâm của đường tròn. Bán kính $R=IA$.

Trường hợp 5: là những trường hợp khác tùy vào điều kiện bài toán cho, các bạn vận dụng linh hoạt kiến thức phương trình đường tròn để làm và dựa vào những trường hợp cơ bản ở trên.

Lời kết

Trên đây là toàn bộ lý thuyết phương trình đường tròn mà thầy đã trình bày và gửi tới các bạn. Bài viết này chủ yếu cung cấp cho các bạn những lý thuyết cơ bản về đường tròn. Trong các bài viết sau thầy sẽ tiếp tục hướng dẫn các bạn vào những dạng bài tập cụ thể áp dụng những kiến thức hôm nay. Hẹn gặp lại các bạn ở bài viết tiếp theo.