Lý thuyết phương trình mặt phẳng trong không gian

1. Lý thuyết phương trình mặt phẳng

 a. Véctơ pháp tuyến – cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng trong không gian

– Véctơ pháp tuyến: Véctơ $\vec{n} \neq 0$ gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$.

– Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$: Hai véctơ $\vec{a}$ và  $\vec{b}$ không cùng phương là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên $(\alpha)$

Chú ý:

 – Nếu $\vec{n}$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ thì $k\vec{n}$ cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.

– Nếu hai véctơ $\vec{a}$ và  $\vec{b}$ là một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$ thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]$.

Ví dụ:

– Nếu $\vec{n}=(1;2;3)$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì $\vec{a}=(2;4;6)$ hoặc $\vec{b}=(3;6;9)$ hoặc $\vec{c}=(-1;-2;-3)$ cũng là những véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

– Nếu hai véctơ $\vec{a}=(2;1;2)$ và  $\vec{b}=(3;2;-1)$ là một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$ thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]$ được xác định như sau:

$\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]=\left(\left | \begin{array}{ll}1&2 \\2&-1 \end{array} \right. |;\left | \begin {array}{ll}2&2\\-1&3 \end{array} \right. |;\left | \begin{array}{ll}2&1\\3&2 \end{array} \right | \right. )= (-5;8;1)$

Xem thêm: Cách xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

– Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ bất kì trong không gian có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 +B^2 + C^2 >0$

– Nếu mặt phẳng $(P)$ bất kì có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ thì véctơ pháp tuyến của $(P)$ là : $\vec{n}=(A;B;C)$

– Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có véctơ pháp tuyến là $\vec{n}=(A;B;C)$ có dạng: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

Chú ý:

Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:

+ Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua
+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

Bài giảng nên xem:  4 dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian phải dùng

3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng

Trong bảng trên các bạn thấy khi trong phương trình mặt phẳng của chúng ta không chứa ẩn nào thì mặt phẳng đó sẽ song song hoặc chứa trục đó. Nếu trong phương trình mặt phẳng của chúng ta không chứa 2 ẩn bất kì nào thì mặt phẳng đó song song với mặt phẳng chứa hai trục đó, hoặc trùng với mặt phẳng chứa 2 trục đó.

Ví dụ:

Ở dòng thứ 2 trong bảng, phương trình mặt phẳng của chúng ta khuyết ẩn x, nên mặt phẳng sẽ song song hoặc chứa trục ox. Ở dòng thứ 5 trong bảng phương trình mặt phẳng khuyết 2 ẩn x và y, nên mặt phẳng sẽ song song với mặt phẳng (oxy) hoặc trùng với mặt phẳng (oxy).

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình như sau:

(P): $Ax + By + Cz + D=0$ và (Q): $A’x + B’y + C’z + D’=0$

– Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}$

– Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}$

– Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}$

– Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: $AA’ + BB’ +CC’ = 0$. (biểu thức này chính là tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)).

5. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho điểm $M(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $Ax + By + Cz + D= 0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ tới mặt phẳng $(P)$ được xác định như sau:

$d(M,(P)) = \frac{|Aa + Bb + Cc + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ví dụ: Khoảng cách từ điểm $A(1;2;3)$ tới mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $2x + 3y -z +4 =0$ là:

$d(A,(P)) = \frac{|2.1 + 3.2 -1.3 + 4|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|9|}{\sqrt{14}} = \frac{9}{\sqrt{14}}$

Bài giảng nên xem: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

6. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $3$ điểm $A(a;0;0);B(0;b;0); C(0;0;c)$ có dạng là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a.b.c \neq 0$. Trong đó $A\in Ox; B\in Oy; C\in Oz$. Khi đó $(P)$ được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Bài giảng nên xem: Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Dưới đây là hai bài tập để các bạn tham khảo.

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

a. Đi qua $M(3;1;1)$ và có VTPT $\vec{n}=(-1;1;2)$

b. $(P)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ cho trước với $A(2;1;1)$ và $B(2;-1;-1)$

c. Đi qua $M(1;2;-3)$ và có cặp VTCP là $\vec{a}=(2;1;2)$ và $\vec{b}=(3;2;-1)$

d. Đi qua $3$ điểm không thẳng hàng $A(1;-2;4); B(3;2;-1); C(-2;1;-3)$

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ biết:

a.  $(P)$ đi qua điểm $M(2;1;5)$ và song song với các mặt phẳng tọa độ

b.  $(P)$ đi qua điểm $M(2;1;5)$ và song song với mặt phẳng $(Q): x-2y+z-10=0$