Lý thuyết đường tiệm cận của hàm số
Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là D
Đường tiệm cận đứng: Nếu $\lim \limits_{x \to a}{f(x)}=\infty$ => $x=a$ là đường tiệm cận đứng
Đường tiệm cận ngang: Nếu $\lim \limits_{x \to \infty}{f(x)}=b$ => $y=b$ là đường tiệm cận ngang
Đường Tiệm cận xiên: Không có trong chương trình học nên bỏ qua
Mẹo tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y=f(x) =\frac{u}{v}$ có tập xác định D
Bước 1: Để biết đồ thị hàm số có tồn tại đường tiệm cận đứng hay không thì trước tiên các bạn giải phương trình $v=0$ để tìm nghiệm. Giả sử $x=x_0$ là 1 nghiệm
Bước 2: Xét xem $x=x_0$ có là nghiệm của đa thức $u$ trên tử hay không?
- Nếu $x=x_0$ không phải là nghiệm của đa thức $u$ thì $x=x_0$ là 1 đường tiệm cận đứng.
- Nếu $x=x_0$ là nghiệm của đa thức $u$ thì phân tích đa thức $u$ thành nhân tử. Ta có $\frac{u}{v}=\frac{(x-x_0)^m.h(x)}{(x-x_0)^n.g(x)}$.
- Rút gọn nhân tử $x-x_0$, nếu sau rút gọn dưới mẫu vẫn còn nhân tử $x-x_0$ thì $x=x_0$ sẽ là 1 đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Nếu sau rút gọn nhân tử $x-x_0$ còn ở trên tử hoặc cả tử và mẫu đều hết thì $x=x_0$ không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị.
Mẹo tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y=f(x) =\frac{u}{v}$ có tập xác định D
Bước 1: Để tồn tại đường tiệm cận ngang thì trước tiên tập xác định của hàm số phải chứa $-\infty$ hoặc $+\infty$. Cụ thể tập xác định phải là 1 trong các dạng sau:
- $D=(-\infty;a)$ hoặc $D=(b; +\infty;)$ hoặc $D=(-\infty;+\infty)$
Nếu tập xác định mà có 1 số dạng như sau thì khẳng định luôn là đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang: $D=(a;b)$ hoặc $D=[a;b]$ hoặc $D=(a;b]$ hoặc $D=[a;b)$. Tức là không chứa $-\infty$ hoặc $+\infty$.
Bước 2: Khi đủ điều kiện xét đường tiệm cận ngang rồi thì thì các bạn xét tiếp tới bậc của $u$ và $v$
- Nếu bậc của $u$ > bậc của $v$ thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang
- Nếu bậc của $u$ < bậc của $v$ thì đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y=0$
- Nếu bậc của $u$ = bậc của $v$ thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=k=\frac{he-so -cua-hang-tu-co-bac-cao-nhat-cua-u}{he-so -cua-hang-tu-co-bac-cao-nhat-cua-v}$
Xem thêm bài giảng:
- 22 bài tập trắc nghiệm cực trị và điểm uốn của đồ thị hàm số có đáp án
- 100 Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm khảo sát hàm số lớp 12 có đáp án
- Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
- 24 Bài tập trắc nghiệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số có đáp án
- Mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 trong giải toán
- Sai lầm khi tìm cực trị của hàm số
Bài tập trắc nghiệm tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài tập 1: Trong các hàm số sau đồ thị hàm số nào có tiệm cận ngang?
A. $y=x^2+8x-2$ B. $y=x^4-2x^2=1$
C. $y=\frac{-2x+1}{x^2-2}$ D. $y=\frac{2x^2+2}{x-3}$
Hướng dẫn:
Ở ý (A) và (B) tập xác định đều là R nhưng lại là hàm đa thức => không có đường tiệm cận ngang.
Ở ý (D) tập xác định là $D=R$\$\{3\}$ chứa $\infty$ nhưng các bạn thấy bậc của tử là 2 lớn hơn bậc của mẫu là 1 => đồ thị không có đường tiệm cận ngang.
Ở ý (C) tập xác định là $D=R$\$\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\}.$ có chứa $\infty$. Xét thấy bậc của tử là 1 bé hơn bậc của mẫu là 2 => đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=0$
Vậy đáp án đúng là (C)
Bài tập 2: Trong các hàm số sau đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận đứng?
A. $y=x^2+8x-2$ B. $y=\frac{x^2-2x-3}{x+1}$
C. $y=\frac{x-1}{x^2+1}$ D. $y=\frac{x^2+2x+4}{x+2}$
Hướng dẫn:
Ý (A) là hàm đa thức => không có đường tiệm cận đứng
Ý (B) ta thấy $x=-1$ là nghiệm của đa thức dưới mẫu. Nhiều bạn sẽ kết luận ngay ở bước này $x=-1$ là đường tiệm cận đứng. Như vậy là chưa chính xác. Cần xét xem nó có là nghiệm của đa thức trên tử hay không rồi mới đưa ra kết luận cuối cùng được?
Nhận thấy $x=-1$ cũng là nghiệm của đa thức trên tử. Phân tích như sau:
$y=\frac{x^2-2x-3}{x+1}=\frac{(x+1)(x-3)}{x+1}=x-3$
Đây là hàm đa thức nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Ý (C) đa thức mẫu là $x^2+1$ không có nghiệm nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
Ý (D) thấy đa thức mẫu có nghiệm là $x=-2$. Đa thức trên tử không nhận $x=-2$ làm nghiệm vì $x^2+2x+4>0$ với mọi giá trị của x. Vậy $x=-2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đáp án đúng là (D)
Bài tập 3: Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-2x+6}}{x-1}$ và $y=\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}$. Tổng số đường tiệm cận của 2 đồ thị hàm số là:
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Hướng dẫn:
Xét hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-2x+6}}{x-1}$
Tập xác định: $D=(-\infty;1) \cup (1;+\infty)$
Đa thức $x^2-2x+6>0$ với mọi giá trị của x thuộc D
Đa thức dưới mẫu có nghiệm là $x=1$. Ta thấy $x=1$ không phải là nghiệm của đa thức trên tử => $x=1$ là 1 đường tiệm cận đứng.
Vì $D=(-\infty;1) \cup (1;+\infty)$ nên đồ thị có thể sẽ có đường tiệm cận ngang.
Ta có: $\sqrt{x^2-2x+6}=\sqrt{x^2(1-\frac{2}{x}+\frac{6}{x^2})}=|x|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{6}{x^2}}$
Khi $x \to +\infty$ thì đường tiệm cận ngang là: $y=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x} =1$
Khi $x \to -\infty$ thì đường tiệm cận ngang là: $y=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x} =-1$
Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.
Vậy hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-2x+6}}{x-1}$ có 3 đường tiệm cận.
Xét hàm số: $y=\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}$
Tập xác định: $D=R$\$\{-3;3\}$
Ta có:$y=\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-1}{x+3}$
Từ phân tích trên ta thấy $x=-3$ là đường tiệm cận đứng và $y=1$ là đường tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}$ có 2 đường tiệm cận.
Kết luận: Tổng số đường tiệm cận của 2 đồ thị hàm số trên là 5
Vậy đáp án đúng là: (C)
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Thầy có thể thiết kế thêm biểu tượng máy in, để bạn đọc in những bài hay về đọc được không ạ?
Thầy ơi, câu 24 mã đề 120 môn Toán là đáp C hay Đ ạ. Tôi xem ác đáp ánđa phần là chọn C tức là chỉ có 1 tiệm cận đứng, nhưng theo bài giảng của thầy thì có 2 TCĐ,
Có 1 tiệm cận đứng thôi em. mẫu bằng 0 có 2 giá trị của x là. x=0. x=-1 nhưng x=0 là nghiệm của tử rồi nên loại đi nhé
Giúp em câu này căn x+25 -5 chia x bình cộng x có mấy tiệm cận đứng
Thầy ơi toán thptqg đề 121 câu 20 mấy tiệm cận đứng giải thích dùm em
1 tiệm cận đứng là x=-1 nhé. em nhân liên hợp tử thì sẽ khử 1 ẩn x ở mẫu nhé
Em hk hiểu thầy ơi
Thầy ơi bài tâph 2 ý (B ) e chưa hiểu lắm thầy giải thích rõ hơn 1 chút dc hk ạ
thông thường không để ý các em sẽ kết luận ngay pt dưới mẫu là tiệm cận đứng. Nhưng cần kiểm tra xem trên tử có biến đổi làm xuất hiện nhân tử giống mẫu hay không? nếu giống mẫu thì nó triệt tiêu mất mẫu rồi em nhé. nên sẽ không có tiệm cận đứng. Trong ý b em thấy x+1 bị triệt tiêu rồi nhé.