Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 để giải toán

Trong chuyên đề khảo sát hàm số chúng ta nghiên cứu về 3 hàm cơ bản là: Hàm số bậc 3: $y=ax^3+bx^2+cx+d$, hàm trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$, hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$. Đối với mỗi hàm chúng lại có các tính chất khác nhau. Trong bài giảng hôm nay thầy muốn chia sẻ ít kinh nghiệm trong việc dựa vào hình dạng đồ thị của các hàm để làm một số bài toán liên quan trong khảo sát. Cụ thể bài giảng này thầy sẽ giúp chúng ta có một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 để giải toán.

Nhìn vào dạng tổng quát của đồ thị hàm số trong hình vẽ ta thấy có 4 dạng đồ thị cho hàm bậc 3, tương ứng với nó sẽ là các điều kiện liên quan: $y’=0$ có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hoặc vô nghiệm, kết hợp với 2 trường hợp $a>0$ hoặc $a<0$. Việc nhớ dạng tổng quát của đồ thị hàm số sẽ giúp ta làm một số bài toán như sau:

1. Dạng toán về tính đơn điệu của hàm số

a. Bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên R

Nhìn vào hình vẽ ta thấy hình số 1 và 2 không đồng biến, nghịch biến trên R được, còn hình số 3 và 4 thì hiến nhiên sẽ đồng biến và nghịch biến trên R. Lúc này các bạn để ý sẽ thấy điều kiện thỏa mãn (hay điều kiện để biện luận cho bài toán) là phương trình $y’ =0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Nếu bài toán hỏi đồng biến thì thêm $a>0$ (hình số 3), nếu hỏi nghịch biến thì thêm $a<0$ (hình số 4). Tức là để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R thì chỉ sảy ra trường hợp ở hình 3 và 4.

b. Bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng bất kì

Với bài toán có yêu cầu như trên thì ta thấy 4 trường hợp trên đều có thể sảy ra. Hai hình số 1 và 2 hiển nhiên sẽ có các khoảng đồng biến và nghịch biến. Hai hình số 3 và 4 thì luôn đồng biến, nghịch biến trên R nên chắc chắn sẽ đồng biến, nghịch biến trên một khoảng bất kì nào đó. Vì các khoảng này đều là tập con của tập R mà.

Như vậy nếu gặp bài toán có đề bài như trên thì chúng ta sẽ biện luận theo 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt

Trường hợp 2: Phương trình $y’=0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Tùy theo bài toán hỏi đồng biến hay nghịch biến thì ta có thêm điều kiện của hệ số a nữa là xong rồi.

Xem đầy đủ:

Dạng toán trắc nghiệm dựa vào đồ thị hàm số – nhận dạng đồ thị

Chuyên đề tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến

2. Dạng toán về cực trị của hàm số

Nhìn vào dạng đồ thị của hàm số trong 4 trường hợp ta thấy nếu bài toán có hỏi về tìm cực trị thì chỉ có thể sảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu). Điều này chỉ sảy ra ở hình số 1 và hình số 2. Với yêu cầu của bài toán như vậy thì các bạn chỉ cần biện luận: phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt, kết hợp với hệ số $a\neq0$

Trường hợp 2: Hàm số không có cực trị. Điều này chỉ có thể sảy ra ở hình số 3 và hình số 4. Trong trường hợp này các bạn chỉ việc biện luận: phương trình $y’=0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Qua hình vẽ về các dạng đồ thị ở trên ta thấy sẽ không có câu hỏi nào mà nội dung là: tìm m để hàm số bậc 3 có một cực trị?

Như vậy việc dựa vào dạng đồ thị của hàm bậc 3 trong trường hợp tổng quát ta có được rất nhiều kinh nghệm, tư duy trong việc phân tích bài toán. Nếu để nhớ một cách máy móc những điều kiện ở trên thì sẽ rất nhanh chóng bị lãng quên lúc nào mà không hay biết. Còn việc chúng ta nhớ được dạng đồ thị của hàm bậc 3 ở trên thì lại quá đơn giản phải không?

Đó là 2 mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 để sử dụng cho bài toán tìm cực trị và tính biến thiên của hàm số. Ngoài việc áp dụng đồ thị dạng tổng quát, thầy sẽ gửi tới chúng ta một thêm một kỹ năng nữa trong việc pjaan tích bài toán và đọc hiểu đồ thị hàm bậc 3.

Xem đầy đủ: Chuyên đề cực trị hàm số

3. Dạng toán về sự tương giao của hai đồ thị

a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Trên hình vẽ ta có hai trường hợp đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Trong hai trường hợp này ta thấy chúng đều có 1 điểm chung là: hai điểm cực trị đều nằm về hai phía so với trục Ox.

Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy $y_{(cd)}>0$ và $y_{(ct)}<0 \Rightarrow y_{(cd)}.y_{(ct)} <0$. Do đó điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là: Điều kiện để hàm số có 2 cực trị và $y_{(cd)}.y_{(ct)} <0$

b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

Trên hình vẽ ta có hai trường hợp đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Trong hai trường hợp này ta thấy chúng đều có 1 điểm chung là: một trong hai điểm cực trị thuộc trục Ox. Khi đó $y_{(cd)}=0$ hoặc $y_{(ct)}=0 \Rightarrow y_{(cd)}.y_{(ct)} =0$.

Do đó điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt là: Điều kiện để hàm số có 2 cực trị và $y_{(cd)}.y_{(ct)} =0$

c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm

Với yêu cầu này của bài toán thì ta có 2 trường hợp sảy ra:

Trường hợp 1: Hàm số có 2 cực trị và 2 cực trị nằm về cùng 1 phía đối với trục Ox

Trên hình vẽ ta có hai trường hợp đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm . Trong hai trường hợp này ta thấy chúng đều có 1 điểm chung là: hai điểm cực trị cùng nằm về 1 phía so với trục Ox. Khi đó $y_{(cd)}>0$ và $y_{(ct)}>0 $ hoặc $y_{(cd)}<0$ và $y_{(ct)}<0 \Rightarrow y_{(cd)}.y_{(ct)} >0$.

Do đó điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm trong trường hợp này là: Điều kiện để hàm số có 2 cực trị và $y_{(cd)}.y_{(ct)} >0$

Trường hợp 2: Hàm số không có cực trị (tức là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên R)

Trong trường hợp này các bạn chỉ việc biện luận phương trình $y’=0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Việc tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thì bên trên thầy đã có một mẹo để nhớ rồi, còn việc tìm $y_{(cd)}$ và $y_{(ct)}$ thì các bạn nên thay vào phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Trên đây là một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 hay có thể gọi là kỹ năng phân tích đồ thị mà chúng ta có được. Hy vọng với chút ít kinh nghiệm nhưng sẽ giúp các bạn được nhiều trong giải toán. Nếu các bạn có thêm những cách hay nữa thì hãy chia sẻ cho tất cả mọi người cùng tham khảo nhé.