Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu hàm số

Khảo sát hàm số là nội dung chiếm rất nhiều lượng kiến thức và câu hỏi trong đề thi THPT quốc gia. Như năm 2017 vừa qua thì số lượng câu hỏi phần này chiếm khoảng 10-12 câu trong các mã đề thi. Trong đó các câu hỏi rơi vào tính đơn điệu của hàm số hoặc liên quan tới tính đơn điệu của hàm số có khoảng 4-5 câu.

Các câu hỏi liên quan tới tính đơn điệu của hàm số trong đề thi năm 2017 vừa qua khá dễ đối với các em học sinh. Bài toán tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trong khoảng, nửa khoảng hay đoạn là con của tập số thực R là không có. Chỉ xuất hiện những bài toán tìm m để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R. Mà dạng này thì giải không mất nhiều thời gian.

Bài giảng hôm nay thầy muốn nói tới là phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số. Bởi đây là dạng toán giúp chúng ta giải nhanh hơn phương pháp sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

Xem thêm bài giảng:

• Tìm m để hàm bậc 4 trùng phương đồng biến nghịch biến trên khoảng
• Tìm m để hàm phân thức đồng biến trên khoảng cho trước
• Mốt số mẹo phân tích hàm bậc 3 trong khảo sát
• Sai lầm khi tìm cực trị của hàm số
• Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Khi nào áp dụng phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số?

Các bạn chỉ có thể sử dụng phương pháp này nếu trong hàm số có chứa những tham số m cùng bậc. Tức là hàm số chỉ chứa m hoặc chỉ chứa $m^2$ hoặc $m^3$… Nếu trong hàm số có chứa tham số m với lũy thừa khác nhau, chẳng hạn $m$ và $m^2$ thì các bạn sẽ không áp dụng được nhé.

Bài toán áp dụng cô lập m thường rơi vào dạng “Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)” với $(a;b) \subset (-\infty;+\infty)$

Hàm số áp dụng được:

$y=x^3-2mx^2+mx-1$ hoặc $y=2x^3-m^2x^2+(2m^2+2)x+1$

Hàm số không áp dụng được:

$y=x^3-2m^2x^2+mx-1$ hoặc $y=2x^3-mx^2+(2m^2+2)x+1$

Áp dụng cách cô lập m như thế nào?

Các bạn tính đạo hàm bậc nhất của hàm số $y’=f’_{(x)}$

Sau đó biến đổi về dạng $m \leq g_{(x)}$ hoặc $m \geq g_{(x)}$…

Nếu gặp dạng $m \leq g_{(x)}$ thì các bạn đi tìm giá trị nhỏ nhất $min$ của hàm g(x) trên khoảng K cho trước. Khi đó $m\leq$ min $g_{(x)}$ với x thuộc K cho trước.

Nếu gặp dạng $m \geq g_{(x)}$ thì các bạn đi tìm giá trị lớn nhất $max$ của hàm g(x) trên khoảng K cho trước. Khi đó $m\geq$ max $g_{(x)}$ với x thuộc K cho trước.

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm m để hàm số $y=2x^3+3x^2+6mx-1$ nghịch biến trên khoảng (0;2)

Hướng dẫn:

$y’=6x^2+6x+6m$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) thì $y’\leq 0$ với $\forall x \in (0;2)$

Ta có: $6x^2+6x+6m\leq 0 \Leftrightarrow x^2+x+m \leq 0 \Leftrightarrow m\leq -x^2-x$

(tới đây các bạn cần phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số)

Đặt $f_{(x)}=-x^2-x$

Vì đây là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng (0;2) thì hàm số cũng liên tục trên đoạn [0;2]

Xét hàm số $f_{(x)}=-x^2-x$ với $\forall x \in [0;2]$

Có: $f’_{(x)}=-2x-1$; $f’_{(x)}=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Nhận thấy $x=-\frac{1}{2}$ không thuộc đoạn [0;2]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên đoạn [0;2] nên giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) trên đoạn [0;2] là $f(2)=-6$ => $m\leq -6$

Kết luận: Với $m\leq -6$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

Bài tập 2: Tìm m để hàm số $y=x^3-3mx^2+3(2m-1)x$ đồng biến trên khoảng (2;3)

Hướng dẫn:

$y’=3x^2-6mx+3(2m-1)$

Hàm số đồng biến trên khoảng (2;3) thì $y’\geq 0$ với $\forall x \in (2;3)$

Ta có:

$3x^2-6mx+3(2m-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow 3x^2-6mx+6m-3\geq 0$

$\Leftrightarrow -6mx+6m\geq -3x^2+3$

$\Leftrightarrow -6m(x-1)\geq -3x^2+3$

$\Leftrightarrow m(x-1)\leq \frac{x^2-1}{2}$

Với $x\in (2;3)$ thì $x-1>0$. Do đó ta có:

$m\leq \frac{x^2-1}{2(x-1)}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$

(tới đây các bạn cần phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số)

Đặt $f(x) = \frac{x}{2}+\frac{1}{2}$

Vì đây là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng (2;3) thì hàm số cũng liên tục trên đoạn [2;3]

Xét hàm số $f(x) = \frac{x}{2}+\frac{1}{2}$ trên đoạn [2;3]

Có: $f'(x)=\frac{1}{2}>0$. Hàm số luôn đồng biến trên [2;3]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn [2;3] nên giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) trên đoạn [2;3] là $f(2)=\frac{3}{2}$ => $m\leq \frac{3}{2}$

Kết luận: Với $m\leq \frac{3}{2}$ thì hàm số đồng biến trên (2;3)

Chú ý: 

Tới phần cô lập m nếu bài toán cho khoảng (a;b) thì chúng ta cần phải xét trên đoạn [a;b] bởi xét trên khoảng không phải lúc nào cũng tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nhưng trên đoạn thì lúc nào cũng tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Trong bài tập 2 khi các bạn chia cả 2 vế cho x-1 thì bất phương trình không đổi chiều vì trong khoảng đang xét thì x-1>0. Nhưng nếu xét với khoảng khác thì các bạn cần chú ý tới dấu của x-1 nhé. Đây là chỗ mà rất nhiều bạn mắc phải sai lầm.

Bài giảng trên thầy đã chia sẻ với các bạn cách cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số. Nếu thấy bài giảng hay và có ích với bạn thì hãy share cho mọi người nhé và đừng quên đăng kí nhận bài giảng mới nhất qua email.