Phương trình tiếp tuyến và sai lầm khi giải

Dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thầy đã gửi tới chúng ta những video bài giảng khá đầy đủ về loại này rồi ( như phương trình tiếp tuyến tại điểm, phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc…). Bạn nào chưa xem qua những bài giảng của thầy thì nên ghé qua vài video xem có thu nhập được ít kiến thức nào không về cách viết phương trình tiếp tuyến.

Bài giảng ngày hôm nay thầy sẽ gửi tới các bạn cách viết một phương trình tiếp tuyến. Kiến thức thì không có gì mới hơn so với các bài giảng trước, tuy nhiên bài giảng hôm nay thầy sẽ chỉ ra cái sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến mà các bạn có thể mắc phải và sẽ tránh được nếu gặp lại chúng.

Vậy sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến ở đây là gì và bài toán sẽ gặp sai lầm ở trên là như thế nào? Các bạn hãy cùng theo dõi ngay nhé.

Bài toán: Cho hàm số $y=x^3-3x+1$. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm $A(3;19)$ tới đồ thị.

Khi gặp bài toán này một số bạn sẽ làm như sau:

1. Lời giải chưa đúng cho phương trình tiếp tuyến

Đầu tiên bạn học sinh đó kiểm tra xem điểm $A$ có thuộc đồ thị hàm số hay không? Khi điểm $A$ thuộc đồ thị thì bạn quy bài toán trên về dạng : viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$. Và kết quả là như sau:

Ta có: $f_{(3)}= 19 \Rightarrow A(3;19)$ thuộc đồ thị hàm số. Khi đó bài toán viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm $A(3;19)$ tới đồ thị trở thành bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$.

Chúng ta sẽ đi tính: $y’ = 3x^2 -3$; $y’_{(3)} = 24$. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm $A(3;19)$ là: $y= 24(x-3) +19= 24x-53$

Phương trình tiếp tuyến trên thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy sai lầm khi tìm phương trình tiếp tuyến trong lời giải trên là như thế nào? và nó sai ở đâu? Chúng ta hãy cùng nhau đi phân tích tiếp.

2. Phân tích sai lầm:

Các bạn để ý lời giải ở trên thì thấy khi bạn học sinh đó kiểm tra điểm $A$ thì thấy điểm $A$ thuộc đồ thị hàm số, tức là $A$ là một tiếp điểm. Khi đó bạn ấy đã đưa bài toán trên về ngay dạng viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm. Nhưng bạn học sinh đó quên rằng có những phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm $A$ mà $A$ không là tiếp điểm. Các bạn hãy xem hình minh họa bên dưới.

Các bạn nhìn thấy có 2 tiếp tuyến là đường thẳng d1 và đường thẳng d2, trong đó tiếp tuyến d1 cũng được kẻ từ $A$ nhưng $A$ không là tiếp điểm. Còn tiếp tuyến d2 cũng được kẻ từ điểm $A$ trong đó $A$ lại là tiếp điểm. Cả hai tiếp tuyến trên đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy cách làm của bạn học sinh ở trên là chưa chính xác và đáp án là chưa đầy đủ. Tới đây các bạn đã biết trong lời giải tìm phương trình tiếp tuyến ở trên đã mắc phải sai lầm gì rồi chứ? Theo như thế thì lời giải nào sẽ đúng cho bài toán tiếp tuyến nói trên? Chúng ta hãy theo dõi lời giải tiếp theo nhé.

3. Lời giải đúng cho phương trình tiếp tuyến:

Ta phải giải bài toán trên theo dạng như sau: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm $A$.

Gọi phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng: $y=f’_{(x_0)}(x-x_0) + y_0$  với $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm và $f’_{(x_0)} =3x_0^2 -3; y_0 =x_0^3 -3x_0 +1$

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(3;19)$ nên ta có:

$19=f’_{(x_0)}(3-x_0) + y_0$

$ \Leftrightarrow 19 = (3x_0^2 -3)(3-x_0)+x_0^3 -3x_0 +1$

$\Leftrightarrow 2x_0^3-9x_0^2+27=0$

$ \Leftrightarrow x_0=3$ hoặc $x_0=-\frac{3}{2}$

Với 2 giá trị $x_0$ tìm được ở trên chúng ta sẽ có hai phương trình tiếp tuyến như sau:

Với $x_0=3 \Rightarrow y_0 =19;f’_{(x_0)}= f’_{(3)}=24$.

Vậy phương trình tiếp tuyến kẻ từ $A$ là: $y= 24(x-3)+19 = 24x-53$

Với $x_0=-\frac{3}{2} \Rightarrow y_0 = \frac{17}{8}; f’_{(x_0)}=f’_{(-\frac{3}{2})}=\frac{15}{4}$

Vậy phương trình tiếp tuyến thứ hai kẻ từ $A$ là: $y= \frac{15}{4}(x+\frac{3}{2})+\frac{17}{8} =\frac{15}{4}x +\frac{31}{4}$

Có thể bạn quan tâm:  Tổng hợp video bài giảng chuyên đề về cực trị

4. Lời kết

Vậy là chúng ta có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện bài toán cho. Các bạn thấy đấy bài toán trên chúng ta rất hay gặp trong quá trình học và không phải bạn nào cũng có kết quả là 2 phương trình tiếp tuyến. Chính vì thế mà thầy viết bài này và mong rằng các bạn sẽ khắc phục được những phân tích sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến dạng này và hãy chia sẻ tới bạn bè của mình để các bạn cũng có cách nhìn mới đối với phương trình tiếp tuyến.

Nếu bạn quan tâm thì hãy xem một số bài giảng sau, sẽ rất có ích cho các bạn:

1. Sai lầm thương gặp khi tính tích phân p1

2. Sai lầm thương gặp khi tính tích phân p2

Nếu các bạn có bài toán nào hay hãy đưa ra để cùng nhau trao đổi và chia sẻ kiến thức duới hộp bình luận nhé.