Sai lầm thường gặp khi áp dụng hệ thức Viet

Sai lầm thường gặp khi áp dụng hệ thức Viet, nghe tiêu đề có vẻ nghiêm trọng lắm những thật ra cũng rất bình thường. Việc áp dụng hệ thức Viet vào giải toán không có gì khó khăn, nó rất đơn giản và dễ hiểu.

Tuy nhiên thầy muốn nói rằng chính vì sự đơn giản, dễ dãi trong sử dụng nên rất nhiều người đã mắc phải những sai sót vô duyên. Bài giảng hôm nay thầy sẽ chỉ ra cho chúng ta một số điều cần phải chú ý khi các bạn áp dụng hệ thức Viet này.

Xem thêm bài giảng:

• Tuyển tập các mẹo hay tránh được sai lầm trong giải toán
• Giải phương trình chứa căn bằng cách dùng phương trình đường thẳng trong hình học 
• Cách chứng minh 2 vectơ cùng phương đơn giản nhất

Điều kiện để áp dụng được định lý Viet

Cho phương trình bậc 2 $ax^2+bx+c=0$. Hệ thức Viet được áp dụng khi phương trình bậc 2 trên có 2 nghiệm. Tức là hệ số $a\neq 0$ và $\Delta\geq 0$.

Sai lầm 1: Chưa biết phương trình bậc 2 có 2 nghiệm hay không?

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình bậc 2: $2x^2-3x+m=0$ có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức: $x_1^2+x_2^2=1$.

Lời giải chưa đúng:

Áp dụng hệ thức Viet ta có: $x_1+x_2=\frac{3}{2}; x_1.x_2=\frac{m}{2}$

Ta có: $x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1\Leftrightarrow (\frac{3}{2})^2-m=1\Leftrightarrow m=\frac{5}{4}$.

Vậy với $m=\frac{5}{4}$ thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: $x_1^2+x_2^2=1$

Trong lời giải trên có gì sai lầm các các bạn nhỉ? Đây là một sai sót rất cơ bản mà đa số học sinh gặp phải. Bởi trong suy nghĩ của các em, khi đọc yêu cầu bài toán thấy “tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức” thì cứ nghĩ người ta đã cho phương trình có 2 nghiệm rồi.

Thật ra ở đây chúng ta chưa biết phương trình đã có 2 nghiệm hay chưa, do đó việc đầu tiên là phải đi tìm cái điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trước đã. Trong ví dụ 1 này hệ số a của chúng ta bằng $2 \neq 0$ nên không phải xét điều kiện này nữa.

Lời giải đúng:

Để phương trình có 2 nghiệm thì $\Delta\geq 0 \Leftrightarrow 9-8m\geq 0 \Leftrightarrow m\leq \frac{9}{8}$

Với $m\leq \frac{9}{8}$ thì phương trình có 2 nghiệm. Giả sử 2 nghiệm đó là $x_1; x_2$

Áp dụng hệ thức Viet ta có: $x_1+x_2=\frac{3}{2}; x_1.x_2=\frac{m}{2}$

Ta có: $x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1\Leftrightarrow (\frac{3}{2})^2-m=1\Leftrightarrow m=\frac{5}{4}$.

Kết hợp với điều kiện của $\Delta$ ta thấy $m=\frac{5}{4}$ không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: $x_1^2+x_2^2=1$

Sai lầm 2: Hiểu sai về điều kiện có nghiệm của phương trình

Rất đơn giản nhưng nhiều bạn học sinh lại rất hay nhầm lẫn cái điều kiện có nghiệm của phương trình hay điều kiện của $\Delta$. Các bạn ấy cứ hiểu rằng phương trình bậc 2 của chúng ta vận dụng được Viet khi nó phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là $\Delta>0$

Hôm nay đọc được bài giảng này của thầy thì rồi thì nhớ rằng chỉ cần phương trình bậc 2 của chúng ta có 2 nghiệm là đủ nhé, tức là 2 nghiệm đó bằng nhau vẫn áp dụng được. Vậy điều kiện áp dụng ở đây chính là $\Delta\geq 0$

Sai lầm 3: Không xét điều kiện của hệ số a

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình bậc 2: $mx^2-2x+1=0$ có 2 nghiệm thỏa mãn $2(x_1+x_2)+x_1.x_2=6$   (1)

Lời giải chưa đúng:

Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì $\Delta\geq 0 \Leftrightarrow 1-m \geq 0 \Leftrightarrow m\leq 1$

Với $m \leq 1$ thì phương trình có 2 nghiệm. Giả sử 2 nghiệm là $x_1; x_2$

Áp dụng hệ thức Viet ta có: $x_1+x_2=\frac{2}{m}; x_1.x_2=\frac{1}{m}$

Ta có:

$2(x_1+x_2)+x_1.x_2=6$

$\Leftrightarrow 2\frac{2}{m}+\frac{1}{m}=6 \Leftrightarrow m=\frac{5}{6}$ (thỏa mãn)

Vậy với $m=\frac{5}{6}$ thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn $2(x_1+x_2)+x_1.x_2=6$

Phân tích sai lầm:

Bài toán trên kết luận $m=\frac{5}{6} < 1$ thì phương trình có 2 nghiệm. Giả sử trong một số trường hợp nào đó các bạn tìm ra giá trị của m không phải là $\frac{5}{6}$ mà tìm được giá trị là $m=0 < 1$ thỏa mãn điều kiện của $\Delta$ và kết luận m=0 thỏa mãn. Nhưng liệu giá trị $m=0$ có phải là giá trị cần tìm hay không? Thầy thử luôn thì thấy phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{2}$.

Như vậy thì chúng ta sao có thể áp dụng được hệ thức Viet khi phương trình chỉ có 1 nghiệm. Đây là sai lầm thường gặp khi áp dụng hệ thức Viet mà các bạn rất hay mắc phải.

Ở đây các bạn đã không xét điều kiện của hệ số a trong phương trình bậc 2 dẫn tới giá trị m tìm được không chính xác. Giờ chúng ta cùng xem lời giải chính xác nhé.

Lời giải đúng:

Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì $\left\{\begin{array}{ll}\Delta\geq 0\\a\neq 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}1-m\geq 0\\m\neq 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}m\leq 1\\m\neq 0 \end{array}\right.$

Với $\left\{\begin{array}{ll}m\leq 1\\m\neq 0 \end{array}\right.$ thì phương trình có 2 nghiệm. Giả sử 2 nghiệm là $x_1; x_2$

Áp dụng hệ thức Viet ta có: $x_1+x_2=\frac{2}{m}; x_1.x_2=\frac{1}{m}$

Ta có:

$2(x_1+x_2)+x_1.x_2=6$

$\Leftrightarrow 2\frac{2}{m}+\frac{1}{m}=6 \Leftrightarrow m=\frac{5}{6}$ (thỏa mãn)

Vậy với $m=\frac{5}{6}$ thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn $2(x_1+x_2)+x_1.x_2=6$

Lời kết

Bài giảng trên thầy đã phân tích và chỉ ra cho các em thấy một số sai lầm thường gặp khi áp dụng hệ thức Viet vào việc giải toán. Qua bài giảng thầy hy vọng các em sẽ tránh được những sai sót rất cơ bản này. Nó không phải là khó, chỉ là do chúng ta hiểu chưa sâu vấn đề khi vận dụng.

Nếu bạn thích bài viết này, hãy subscribe blog của thầy để thường xuyên cập nhật những bài viết hay nhất, mới nhất qua fanpage nhé. Cảm ơn rất nhiều