Sai lầm thường gặp khi tính tích phân (p2)

Trong bài viết về những “Sai lầm thường gặp khi tính tích phân” ở phần 1 thầy đã gửi tới chúng ta dạng bài tập mà khi một biểu thức tính tích phân không xác định trên đoạn [a;b] bất kì, trong đó thầy cũng đưa ra cho chúng ta một số bài tập áp dụng.

Trong phần 2 này về những sai lầm khi tính tích phân thầy tiếp tục đưa ra một dạng cũng khá hay gặp và học sinh cũng hay mắc phải. Đó là khi khai căn bậc hai, biểu thức trong căn có dạng bình phương và chúng ta thường bỏ qua công thức  khi khai căn.

Và một lỗi rất cơ bản đó là chúng ta không nắm chắc công thức tính nguyên hàm dẫn đến áp dụng sai và kết quả các bạn biết rồi đó. Chính vì vậy mà dẫn đến những sai lầm

Trường hợp này học sinh rất hay gặp trong khi giải phương trình có chứa căn thức bậc chẵn và sai lầm thường xuyên sảy ra khi chúng ta mới tiếp xúc với dạng toán này.

Xem thêm:

1. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

2. Tính tích phân bằng phương pháp từng phần

Dưới đây là lời giải một số bài tập về dạng mà thầy vừa giới thiệu với chúng ta:

Bài 1: Tính tích phân $I=\int_0^4 \sqrt{x^2-6x+9}dx$

1. Sai lầm thường gặp khi giải:

$I=\int_0^4 \sqrt{x^2-6x+9}dx = \int_0^4 \sqrt{(x-3)^2}dx=\int_0^4 (x-3)dx$

$=\int_0^4 (x-3)d(x-3)=\frac{(x-3)^2}{2}|_0^4=\frac{1}{2}-\frac{9}{2}=-4$

2. Nguyên nhân sai lầm:

Phép biến đổi: $\int_0^4 \sqrt{(x-3)^2}dx=\int_0^4 (x-3)dx$ là không chính xác. Vì trên đoạn [0;4] thì giá trị của x-3 có thể âm, có thể dương. Cụ thể các bạn sẽ thấy như sau:

Vì $\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$
$|x-3|=x-3$ với $ x\geq 3 $

$|x-3|=-(x-3)$ với $ x<3$

Như vậy tích phân trên sẽ được tách thành tổng của 2 tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối với các cận sẽ thay đổi như sau:

3. Lời giải đúng:

$ I=\int_0^4 \sqrt{x^2-6x+9}dx = \int_0^4 \sqrt{(x-3)^2}dx = \int_0^4 |x-3|dx $

$ =\int_0^3 -(x-3)dx + \int_3^4 (x-3)dx $

$ = – \int_0^3 (x-3)d(x-3) +\int_3^4 (x-3)d(x-3) $

$ =- \frac{(x-3)^2}{2}|_0^3+\frac{(x-3)^2}{2}|_3^4 $

$ = -(0-\frac{9}{2})+(\frac{1}{2}-0)$

$ =\frac{9}{2}+\frac{1}{2}$

$ =5 $

4. Học sinh cần chú ý:

Với biểu thức chứa căn bậc chẵn thì: $\sqrt[2n]{(f_{(x)})^{2n}}=|f_{(x)}|$ với ($n\geq 1; n\in N$)

Vì vậy khi tính tích phân dạng: $I=\int_a^b \sqrt[2n]{(f_{(x)})^{2n}}dx=\int_a^b |f_{(x)}|dx$ các em cần chú ý xét dấu của đa thức $f_{(x)}$ trên đoạn [a;b]. Sau đó tách tích phân trên thành tổng các tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.

5. Các bài tập tương tự:

Tính các tích phân sau

1. $I=\int_0^\pi \sqrt{1-sin2x}dx$    2. $I=\int_0^3 \sqrt{x^3-2x^2+x}dx$

3. $I=\int_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{6} \sqrt{tan^2x+cot^2x-2}dx$

Xem thêm: 3 cách giải hay cho 1 phương trình mũ đơn giản

Bài 2: Tính tích phân sau: $I=\int_0^1 (2x+1)^5dx $

1. Sai lầm thường gặp khi giải:

$I=\int_0^1 (2x+1)^5dx = \frac{(2x+1)^6}{6}|_0^1 =\frac{3^6}{6}-\frac{1}{6} =\frac{728}{6}$

2. Nguyên nhân sai lầm:

Do các bạn đã áp dụng sai công thức tính tích phân. Ở đây các bạn đã áp dụng công thức $\int_a^b x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}|_a^b$ với $n \neq -1$. Trong khi đó hàm số bài toán ra là 2x+1 là một hàm hợp.

3. Lời giải đúng:

Các bạn có thể đặt $t=2x+1 \Rightarrow dt=2dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}$

Khi $x=0 \Rightarrow t=1$; $x=1 \Rightarrow t=3$

Ta có: $I= \int_1^3 \frac{t^5}{2}dt = \frac{t^6}{12}|_1^3 = \frac{3^6}{12}-\frac{1}{12} =\frac{728}{12}$

4. Học sinh chú ý:

Cần học thuộc bảng các nguyên hàm của hàm số cơ bản và nguyên hàm của những hàm hợp. Trong ví dụ trên các em cần sử dụng đúng công thức nguyên hàm của hàm hợp là:

$I=\int (mx+n)^{\alpha}dx = \frac{1}{m}.\frac{(mx+n)^{\alpha+1}}{\alpha +1} + C $