Tìm ảnh của đường thẳng bằng phép quay

Tiếp tục trong dạng bài tập áp dụng phép quay, hôm nay thầy sẽ gửi tới các bạn dạng toán: Tìm ảnh của đường thẳng bằng phép quay. Để làm được dạng toán này thông thường chúng ta sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay. Chúng ta có thể áp dụng trực tiếp hoặc gián tiếp để giải bài toán dạng này. Dưới đây thầy sẽ trình bày với các bạn một bài tập, dựa vào đó các bạn có thể áp dụng được cho những bài toán khác tương tự.

Xem thêm:

• Tìm ảnh của 1 điểm qua phép quay – Biểu thức tọa độ của phép quay
• Tìm ảnh của đường thẳng bằng phép đối xứng tâm

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $d$ có phương trình: $2x-3y+6=0$. Viết phương trình đường thẳng $d’$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép quay tâm $O$, góc quay $-90^0$.

Hướng dẫn giải:

Đối với dạng toán yêu cầu tìm ảnh của đường thẳng bằng phép quay thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo 2 phương pháp:

1. Dựa trực tiếp vào biểu thức tọa độ của phép quay.
2. Lấy 2 điểm thuộc đường thẳng $d$, tìm ảnh của 2 điểm này qua phép quay và viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm ảnh này.

Cách 1: 

Gọi $M(x;y)$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng $d$. $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $-90^0$. Khi đó $M’$ sẽ thuộc đường thẳng $d’$.

Theo biểu thức tọa độ của phép quay tâm $O$, góc quay $-90^0$ ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=xcos\varphi -ysin\varphi\\y’=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=xcos(-90^0) -ysin(-90^0)\\y’=xsin(-90^0) +ycos(-90^0)\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=0+y\\y’=-x +0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=y\\y’=-x\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-y’\\y=x’\end{array}\right.$             (1)

Thay (1) vào phương trình đường thẳng $d$ ta có:

$2(-y’)-3x’+6=0\Leftrightarrow 3x’+2y’-6=0$

Vậy phương trình đường thẳng $d’$ là: $3x+2y-6=0$

Cách 2:

Bước 1: Lấy 2 điểm bất kì $M$ và $N$ thuộc đường thẳng $d$ có tọa độ là: $M(0;2)$; $N(-3;0)$

Bước 2: Tìm ảnh của hai điểm $M$ và $N$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $-90^0$ là hai điểm $M'(x_1;y_1)$ và $N'(x_2;y_2)$.

Tọa độ của điểm $M’$ là:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=xcos\varphi -ysin\varphi\\y’=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=0. cos(-90^0) -2.sin(-90^0)\\y’=0.sin(-90^0) +2.cos(-90^0)\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=2\\y’=0\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm $M’$ là: $M'(2;0)$

Tọa độ của điểm $N’$ là:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=xcos\varphi -ysin\varphi\\y’=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=-3. cos(-90^0) -0.sin(-90^0)\\y’=-3.sin(-90^0) +0.cos(-90^0)\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=0\\y’=3\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm $N’$ là: $N'(0;3)$

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng $d’$ đi qua hai điểm $M’$ và $N’$.

– Ta có vectơ $\vec{M’N’}=(-2;3)$.

– Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d’$ là: $n_{d’}=(3;2)$

– Đường thẳng $d’$ đi qua điểm $M'(2;0)$ nhận $n_{d’}=(3;2)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $3(x-2)+2(y-0)=0\Leftrightarrow 3x+2y-6=0$

Vậy phương trình đường thẳng $d’$ là: $3x+2y-6=0$

Qua đây các bạn đã rõ cách làm cho bài toán tìm ảnh của đường thẳng bằng phép quay. Giờ các bạn hãy rèn luyện thêm cho mình với hai bài tập tương tự này nhé. Các bạn có phương pháp nào hay thì hãy chia sẻ với mọi người dưới phần bình luận để cùng nhau tham khảo.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $d$ có phương trình: $2x-3y+6=0$. Viết phương trình đường thẳng $d’$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép quay tâm $O$, góc quay $60^0$.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $d’$ có phương trình: $x-2y+4=0$. Viết phương trình đường thẳng $d$ là tạo ảnh của đường thẳng $d’$ qua phép quay tâm $O$, góc quay $45^0$.