Tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục

Tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục có thể quy về bài toán tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục hoặc sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục. Tuy nhiên biểu thức tọa độ thì chỉ sử dụng được nếu trục đối xứng là Ox hoặc Oy. Nếu trục đối xứng là đường thẳng bất kì khác Ox hay Oy thì phải làm như thế nào? Tất cả các trường hợp và phương pháp giải dạng toán này thầy sẽ giải đáp trong bài giảng này.

Xem thêm bài giảng:

• Tìm ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến
• Tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng tâm
• Tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay
• 50 Câu hỏi trắc nghiệm phép biến hình

Bài toán tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục

Cho đường thẳng d: $ax+by+c=0$ nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục.

a. Trục đối xứng là Ox hoặc là Oy

b. Trục đối xứng là một đường thẳng $\Delta$ bất kì nào đó.

Để giải bài toán này chúng ta sẽ làm như sau:

a. Trục đối xứng là Ox hoặc Oy

Phương pháp 1:

• Các bạn lấy 2 điểm A và B thuộc đường thẳng d, nhớ chọn tọa độ các điểm cho đẹp 1 chút để dễ tính toán.
• Tìm ảnh của 2 điểm A và B ở trên qua phép đối xứng trục Ox hoặc Oy là A’ và B’.
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và B’. Đường thẳng A’B’ chính là ảnh của đường thẳng d.

Phương pháp 2:

• Gọi $M(x;y)$ là điểm bất kì thuộc d và $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm M qua trục đối xứng Ox hoặc Oy.
• Dựa vào biểu thức tọa độ của từng trục để suy ra x và y theo x’ và y’
• Thay x và y tìm được ở trên vào phương trình đường thẳng d, lúc này phương trình đường thẳng d sẽ được biểu diễn theo x’ và y’. Đó chính là phương trình của đường thẳng d’.

Với hai cách này, cách nào nhanh hơn, hay hơn thì phụ thuộc vào cảm nhận của các bạn. Thầy sẽ trình bày cả 2 cách trong bài tập phía dưới phần lý thuyết.

b. Trục đối xứng là một đường thẳng $\Delta$ bất kì nào đó.

Với bài toán dạng này thầy sẽ chia thành 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Đường thẳng d và trục đối xứng $\Delta$ cắt nhau tại 1 điểm I bất kì.

Với trường hợp này sẽ có 2 cách làm:

Cách 1: 

• Lấy 2 điểm A và B thuộc đường thẳng d, nhớ chọn tọa độ cho đẹp các bạn nhé
• Tìm ảnh của 2 điểm A và B qua phép đối xứng trục là đường thẳng $\Delta$ là A’ và B’
• Viết phương trình đường thẳng đi qua A’ và B’. Đường thẳng này chính là đường thẳng d’ (ảnh của đường thẳng d) cần tìm.

Cách 2:

• Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và $\Delta$ là điểm $I$. Ảnh của $I$ qua phép đối xứng trục $\Delta$ vẫn là $I$. Suy ra $I\in d’$
• Lấy 1 điểm M bất kì thuộc đường thẳng d. Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục $\Delta$ là $M’$
• Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $I$ và $M’$. Đường thẳng này chính là d’.

Trường hợp 2: Đường thẳng d song song với trục đối xứng $\Delta$. Khi đó ảnh của d là d’ cũng sẽ song song với đường thẳng $\Delta$.

• Vì đường thẳng d có phương trình: $ax+by+c=0$ suy ra d’ có phương trình: $ax+by+c’=0$. Các bạn cần tìm $c’$
• Lấy 1 điểm M thuộc đường thẳng d. Tìm ảnh của điểm M là M’ qua phép đối xứng trục $\Delta$
• Thay tọa độ của điểm M’ vào phương trình d’ => $c’=?$
• Kết luận phương trình đường thẳng d’.

Trường hợp 3: Đường thẳng d vuông góc với trục đối xứng $\Delta$. Khi đó ảnh của đường thẳng d là chính nó. Các bạn cứ thử xem có phải không nhé?

Bài tập tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục

Bài tập 1: Tìm ảnh của đường thẳng $d: x+2y-3=0$ qua phép đối xứng trục với:

a. Trục đối xứng là Ox

b. Trục đối xứng là Oy

c. Trục đối xứng là đường thẳng $\Delta: x-y+2=0$

Hướng dẫn:

a.  Trục đối xứng là Ox nên thầy sẽ trình bày cả hai cách như trong phần phương pháp ở trên nhé.

Cách 1: 

Lấy điểm $A(3;0); B(1;1)$ thuộc đường thẳng d

Gọi $A’, B’$ lần lượt là ảnh của A và B qua phép đối xứng trục Ox. Suy ra $A'(3;0); B(1;-1)$

Gọi d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox => d’ đi qua A’ và B’.

Ta có: $\vec{A’B’}=(-2; -1)$ => gọi $\vec{n}=(1;-2)$

Đường thẳng d’ đi qua A’ và nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$1(x-3)-2(y-0)=0\Leftrightarrow x-2y-3=0$

Vậy phương trình đường thẳng ảnh của d là d’: $x-2y-3=0$

Nếu bạn chưa biết cách tìm tọa độ của điểm ảnh thì xem bài giảng này nhé: Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục

Cách 2: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox

Gọi $M(x;y)$ là một điểm bất kì thuộc d và $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Ox.

Ta có: $\left\{\begin{array}{ll}x’=x\\y’=-y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=x’\\y=-y’\end{array}\right.$

Thay x và y ở trên vào phương trình đường thẳng d ta có:

$x’+2(-y’)-3=0\Leftrightarrow x’-2y’-3=0$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: $x-2y-3=0$

b. Ở ý (b) này các bạn làm tương tự như 2 cách thầy hướng dẫn trong ý (a) nhé. Bởi về bản chất chúng vẫn giống nhau, chỉ khác một chút ở biểu thức tọa độ của 2 phép đối xứng trục.

c. Chúng ta quan tâm chính là ở cái ý (c) này, bởi trục đối xứng giờ là một đường thẳng bất kì cho trước. Các bạn xem kĩ hướng dẫn trong phần phương pháp ở trên nhé.

Nhìn vào phương trình đường thẳng d và $\Delta$ ta thấy hai đường thẳng này không song song, không vuông góc, không trùng nhau mà chúng cắt nhau.

Gọi giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng $\Delta$ là điểm $I$. Tọa độ của $I$ thỏa mãn hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{ll}x+2y-3=0\\x-y+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-\frac{1}{3}\\y=\frac{5}{3}\end{array}\right.\Rightarrow I(-\frac{1}{3};\frac{5}{3})$

Ảnh của điểm $I$ qua phép đối xứng trục $\Delta$ vẫn là chính nó.

Lấy điểm $M(3;0)$ thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng $d_1$ qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ có phương trình là:

$1(x-3)+1(y-0)=0\Leftrightarrow x+y-3=0$

Gọi $M_0$ là giao điểm của đường thẳng $d_1$ và đường thẳng $\Delta$, khi đó tọa độ của điểm $M_0$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x+y-3=0\\x-y+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{array}\right.\Rightarrow M_0(\frac{1}{2};\frac{5}{2})$

Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép đối xứng trục là đường thẳng $\Delta$, suy ra $M_0$ là trung điểm của $MM’$ và đường thẳng $\Delta$ lúc này còn gọi là đường trung trực của đoạn $MM’$. Tọa độ của điểm $M’$ là:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=2.\frac{1}{2}-3\\y’=2.\frac{5}{2}-0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=-2\\y’=5\end{array}\right.\Rightarrow M'(-2;5)$

Vectơ $\vec{IM’}=(-\frac{5}{3};\frac{10}{3})$

Chọn $\vec{n}=(2;1)$ làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng $IM’$. Đường thẳng $IM’$ đi qua điểm $M’$ và nhận $\vec{n}=(2;1)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$2(x+2)+1(y-5)=0\Leftrightarrow 2x+y-1=0$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là : $2x+y-1=0$

Bài giảng này thầy viết có lẽ khá dài nên khó tránh khỏi sai sót. Vì vậy nếu các bạn muốn thảo luận thêm về bài giảng tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục thì có thể comment trong khung bình luận phía dưới và nhớ đừng quên đăng kí nhận bài giảng mới nhất qua email nhé.

Bài tập rèn luyện

Bài tập 1: Tìm ảnh của đường thẳng d: $x+y-2=0$ qua:

a. Phép đối xứng trục Ox

b. Phép đối xứng trục Oy

c. Phép đối xứng trục là đường thẳng $\Delta: 2x-y-1=0$

Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng d’ biết d’ là ảnh của đường thẳng d:$2x-3y-5=0$ qua phép đối xứng trục là đường thẳng $\Delta: x-\frac{3}{2}y+1=0$

Bài tập 3: Tìm ảnh của đường thẳng d: $x+3y+2$ qua phép đối xứng trục là đường thẳng $\Delta: 3x-y-4=0$